Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 322 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∀(φ ∈ H) : kp(A)φk
2
=
X
λ
j
|p(λ
j
)|
2
| < e
j
, φ > |
2
.
kp(A)k = sup{|p(λ)| | λ ∈ σ(A)}.
A
L(H 7→ H)
A
A A
∗
= A
p(λ) = a
0
λ
n
+ a
1
λ
n−1
+ . . . + a
n
, a
j
∈ R
1
.
kp(A)k ≤ sup{|p(λ)| | |λ| ≤ kAk}.
x ∈ H , kxk = 1
H
x
= span{x , Ax , . . . , A
n
x}.
H
x
dimH
x
≤ n + 1
H
x
H
H = H
x
⊕ H
⊥
x
.
P H
x
P
2
= P , ∀(x ∈ H) : P x ∈ H
x
, ∀(x ∈ H
x
) : x = P x.
(x ∈ H
x
) ⇒ (x = P x),
(Ax ∈ H
x
) ⇒ (Ax = P Ax = P AP x)
(A
2
x ∈ H
x
) ⇒ (A
2
x = P A
2
x = P AAx = P AP P AP x = (P AP )
2
x)
. . .
(A
n
x ∈ H
x
) ⇒ (A
n
x = (P aP )
n
x).
Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
                                      X
            ∀(φ ∈ H) : kp(A)φk2 =           |p(λj )|2 | < ej , φ > |2 .
                                       λj

Ïîýòîìó
                      kp(A)k = sup{|p(λ)| | λ ∈ σ(A)}.                          (4.105)
Ìû âèäèì, ÷òî àëãåáðà âñåõ ïîëèíîìîâ îò îïåðàòîðà A, ðàññìàòðèâàå-
ìàÿ êàê ïîäàëãåáðà àëãåáðû L(H 7→ H), àëãåáðàè÷åñêè è òîïîëîãè÷åñêè
èçîìîðôíà àëãåáðå ïîëèíîìîâ íà ñïåêòðå îïåðàòîðà A. Òåîðåìà (4.5.2)
óòâåðæäàåò, ÷òî ýòî ñïðàâåäëèâî è â áîëåå îáùåé ñèòóàöèè.
   Ïðèâîäèìîå íèæå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû (4.5.2) ïðèíàäëåæèò Ýáåð-
ëåéíó è îñíîâàíî íà ñëåäóþùåé ýëåìåíòàðíîé ëåììå.
Ëåììà 4.5.1. Ïóñòü A -ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð: A                   ∗
                                                                        = A.   Ïóñòü

                p(λ) = a0 λn + a1 λn−1 + . . . + an , aj ∈ R1 .

Òîãäà
                    kp(A)k ≤ sup{|p(λ)| | |λ| ≤ kAk}.                           (4.106)
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ôèêñèðóåì âåêòîð x ∈ H , kxk = 1. Ïóñòü

                       Hx = span{x , Ax , . . . , An x}.

Ïî ïîñòðîåíèþ ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà Hx êîíå÷íà:

                               dimHx ≤ n + 1

Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïðîñòðàíñòâî Hx êàê ïîäïðîñòðàíñòâî ïðî-
ñòðàíñòâà H . ßñíî, ÷òî
                        H = Hx ⊕ Hx⊥ .
Ïóñòü P -îïåðàòîð îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ íà ïðîñòðàíñòâî Hx :

          P 2 = P , ∀(x ∈ H) : P x ∈ Hx , ∀(x ∈ Hx ) : x = P x.

Ïî îïðåäåëåíèþ îïåðàòîðà ïðîåêòèðîâàíèÿ, ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà:

    (x ∈ Hx ) ⇒ (x = P x),
    (Ax ∈ Hx ) ⇒ (Ax = P Ax = P AP x)
    (A2 x ∈ Hx ) ⇒ (A2 x = P A2 x = P AAx = P AP P AP x = (P AP )2 x)
    ...
    (An x ∈ Hx ) ⇒ (An x = (P aP )n x).

                                     310

Страницы