Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 323 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

p(A)x = p(P AP )x.
P AP
H
x
| < x , p(A)x > | = | < x , p(P AP )x > | ≤ kp(P AP)k
≤ sup{|p(λ)| | λ ∈ σ(P AP )} ≤ sup{|p(λ)| | |λ| ≤ kA | Hk}.
x
sup{| < x , p(A)x > | | |kxk ≤ 1} = kp(A)k ≤ sup{|p(λ)| | |λ| ≤ kA | Hk}.
A
A p(λ)
kp(A)k = sup{|p(λ)| | λ ∈ σ(p(A))} = sup{|p(λ)| | λ ∈ σ(A)}.
p(λ)
p(A)
kp(A)k = sup{|λ| | λ ∈ σ(p(A))} = sup{|λ| | λ ∈ p(σ(A))} =
sup{|p(λ)| | λ ∈ σ(A)}.
[−kAk, kAk] σ(A)
Ñëåäîâàòåëüíî,
                           p(A)x = p(P AP )x.
Îïåðàòîð P AP äåéñòâóåò â êîíå÷íîìåðíîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå
Hx , è ñîãëàñíî (4.105)
    | < x , p(A)x > | = | < x , p(P AP )x > | ≤ kp(P AP )k
     ≤ sup{|p(λ)| | λ ∈ σ(P AP )} ≤ sup{|p(λ)| | |λ| ≤ kA | Hk}.    (4.107)
Ïðàâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà (4.107) íå çàâèñèò îò x, ñëåäîâàòåëüíî,
 sup{| < x , p(A)x > | | |kxk ≤ 1} = kp(A)k ≤ sup{|p(λ)| | |λ| ≤ kA | Hk}.
Ëåììà äîêàçàíà.
   Çàìåòèì, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî ýòîé ëåììû îïèðàåòñÿ òîëüêî íà ñâîé-
ñòâà ýðìèòîâûõ îïåðàòîðîâ â êîíå÷íîìåðíîì óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâå.
Çàìå÷àíèå 4.5.1. Èç äîêàçûâàåìîé íèæå òåîðåìû (4.5.2) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ
ïðîèçâîëüíîãî ñàìîìîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà A ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
(4.105).
   Â äàëüíéåøåì ìû áóäåì îïèðàòüñÿ òîëüêî íà íåðàâåíñòâî (4.106),
ïîýòîìó ÷èòàòåëü ìîæåò ñðàçó ïåðåéòè ê ñëåäñòâèþ 4.5.1 íà ñòð. 314.
   Íèæå ìû äîêàæåì íåñêîëüêî óòâåðæäåíèé, êîòîðûå ïî ñìûñëó áëèç-
êè ëåììå 4.5.1 è êîòîðûå ïîëåçíî çíàòü.
Ëåììà 4.5.2. Åñëè A -îãðàíè÷åííûé ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð è p(λ)
-ïîëèíîì ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, òî

   kp(A)k = sup{|p(λ)| | λ ∈ σ(p(A))} = sup{|p(λ)| | λ ∈ σ(A)}.     (4.108)
   Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè êîýôôèöèåíòû ïîëèíîìà p(λ) äåéñòâèòåëüíû,
òî îïåðàòîð p(A) ñàìîñîïðÿæåí, ïîýòîìó â ñèëó ñëåäñòâèÿ 4.3.2 (ñì. ñòð.
289) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
     kp(A)k = sup{|λ| | λ ∈ σ(p(A))} = sup{|λ| | λ ∈ p(σ(A))} =
     sup{|p(λ)| | λ ∈ σ(A)}.
Ëåììà äîêàçàíà.
   Çàìåòèì, ÷òî ïðè äîêàçàòåëüñòâå ýòîé ëåììû ìû ñóùåñòâåííî èñ-
ïîëüçîâàëè òåîðåìó îá îòîáðàæåíèè ñïåêòðà è ñâîéñòâà ñïåêòðàëüíîãî
ðàäèóñà. Åñëè ÷èòàòåëü óñâîèë ýòè ïîíÿòèÿ, òî â ïîñëåäóþùèõ ðàññóæ-
äåíèÿõ îí ìîæåò èñïîëüçîâàòü ëåììó (4.5.2) âìåñòî ëåììû (4.5.1) è òîãäà
ìîæíî ïîñëåäóþùèå ðàñóæäåíèÿ ñäåëàòü áîëåå òî÷íûìè: âî âñåõ îöåí-
êàõ îòðåçêè [−kAk , kAk] ìîæíî çàìåíèòü íà êîìïàêò σ(A).
   Íèæå äàåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî ëåììû, êîòîðàÿ ïîëåçíà è â ìíîãèõ äðó-
ãèõ ïðèëîæåíèÿõ.

                                   311

Страницы