Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 324 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A B
AB = BA
AB
AB
(AB)
∗
= B
∗
A
∗
= BA = AB.
AB
0 ≤ A ≤ id.
A
0
= A , A
(n+1)
= A
n
− A
2
n
.
∀n : A
n
B = BA
n
.
∀n : 0 ≤ A
n
≤ id.
0 ≤ A
n
≤ id,
A
2
n
(id − A
n
) ≥ 0 , A
n
(id − A
n
)
2
≥ 0,
< f , A
2
n
(id − A
n
)f >=< A
n
f , (id − A
n
)A
n
f >≥ 0,
< f , A
n
(id − A
n
)
2
f >=< (id − A
n
)f , A
n
(id − A
n
)f >≥ 0.
A
(n+1)
= A
2
n
(id − A
n
) + A
n
(id − A
n
)
2
.
A
(n+1)
≥ 0.
id − A
n
≥ 0,
Ëåììà 4.5.3. Åñëè A è B -îãðàíè÷åííûå êîììóòèðóþùèå:
                                   AB = BA

íåîòðèöàòåëüíûå ñàìîñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû, òî îïåðàòîð               AB    ñàìî-
ñîïðÿæåí è íåîòðèöàòåëåí.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ñàìîñîïðÿæåííîñòü îïåðàòîðà AB âûòåêàåò èç ðà-
âåíñòâà
                     (AB)∗ = B ∗ A∗ = BA = AB.
Äîêàæåì íåîòðèöàòåëüíîñòü îïåðàòîðà AB . Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè,
â äàëüíåøåì ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî

                                  0 ≤ A ≤ id.

Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïåðàòîðîâ

                         A0 = A , A(n+1) = An − A2n .

Î÷åâèäíî, ÷òî
                               ∀n : An B = BAn .
Äîêàæåì, ÷òî
                               ∀n : 0 ≤ An ≤ id.                          (4.109)
Äîêàçûâàåì ïî èíäóêöèè. Åñëè

                                  0 ≤ An ≤ id,

òî
                     A2n (id − An ) ≥ 0 , An (id − An )2 ≥ 0,
òàê êàê

          < f , A2n (id − An )f >=< An f , (id − An )An f >≥ 0,
          < f , An (id − An )2 f >=< (id − An )f , An (id − An )f >≥ 0.

Âû÷èñëåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî

                    A(n+1) = A2n (id − An ) + An (id − An )2 .

Ñëåäîâàòåëüíî,
                                  A(n+1) ≥ 0.
Åñëè
                                  id − An ≥ 0,

                                       312

Страницы