Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 326 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

α
j
≤ a , β
k
≥ b , ω
l
∈ [a , b] , γ
s
∈ R
1
, σ
s
∈ R
1
.
p(A) =
Y
j,k,l,s
(A − α
j
id)(β
k
id − A)(A − ω
l
id)
2
((A − σ
s
id)
2
+ γ
2
s
id).
kp(A)k ≤ sup{|p(λ)| | λ ∈ [a , b]}.
c = sup{|p(λ)| | λ ∈ [a , b]}.
∀(λ ∈ [a , b]) : c ± p(λ) ≥ 0.
∀(φ ∈ H) : < φ , (c ± p(A))φ >≥ 0,
p(λ)
Opb
A
: p(λ) 7→ Opb
A
(p(λ)) = p(A).
Opb
A
C([−kAk, kAk])
L(H 7→ H)
C([−kAk, kAk])
L(H 7→ H) f ∈ C([−kAk, kAk])
C([−kAk, kAk])
f(λ) = lim
n→∞
p
n
(λ),
Opb
A
(f) = lim
n→∞
Opb
A
(p
n
(λ)).
ãäå

            αj ≤ a , βk ≥ b , ωl ∈ [a , b] , γs ∈ R1 , σs ∈ R1 .
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
         Y
 p(A) =     (A − αj id)(βk id − A)(A − ωl id)2 ((A − σs id)2 + γs2 id). (4.112)
           j,k,l,s

Êàæäûé ñîìíîæèòåëü â (4.112) -íåîòðèöàòåëüíûé îïåðàòîð. Â ñèëó ëåì-
ìû 4.5.3 èõ ïðîèçâåäåíèå åñòü íåîòðèöàòåëüíûé îïåðàòîð. Ëåììà äîêà-
çàíà.
   Òåïåðü äîêàæåì óòâåðæäåíèå, êîòîðîå óòî÷íÿåò ëåììó (4.5.1).
Ëåììà 4.5.5. Ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
                       kp(A)k ≤ sup{|p(λ)| | λ ∈ [a , b]}.             (4.113)


      Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü
                           c = sup{|p(λ)| | λ ∈ [a , b]}.
Ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
                           ∀(λ ∈ [a , b]) : c ± p(λ) ≥ 0.
 ñèëó ëåììû 4.5.4 îòñþäà ñëåäóåò íåðàâåíñòâî
                      ∀(φ ∈ H) : < φ , (c ± p(A))φ >≥ 0,
êîòîðîå ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó (4.5.5).
   Íà ïîëèíîìàõ p(λ) ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè îïðåäåëèì
îòîáðàæåíèå
                  OpbA : p(λ) 7→ OpbA (p(λ)) = p(A).     (4.114)
Èç ëåììû 4.5.1 âûòåêàåò
Ñëåäñòâèå 4.5.1. Îòîáðàæåíèå Opb                A ïåðåâîäèò ôóíäàìåíòàëüíûå â
ìåòðèêå  C([−kAk , kAk]) ïîëåäîâàòåëüíîñòè ïîëèíîìîâ â ôóíäàìåí-
òàëüíûå â ìåòðèêå   L(H →7 H) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îïåðàòîðîâ è ïî-
ýòîìó ðàñøèðÿåòñÿ äî íåïðåðûâíîãî îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà C([−kAk , kAk])
â ïðîñòðàíñòâî L(H 7→ H): åñëè f ∈ C([−kAk , kAk]) è â ìåòðèêå ïðî-
ñòðàíñòâà C([−kAk , kAk]):

                                f (λ) = lim pn (λ),
                                          n→∞
òî
                                    def
                         OpbA (f ) = lim OpbA (pn (λ)).                (4.115)
                                          n→∞


                                          314

Страницы