Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 328 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f 7→ I(φ | f)
I
0
(φ | f) µ(φ | dx)
[−kAk, kAk] I(φ | f)
∀(m ∈ B([−kAk, kAk])) : µ(φ | m) := I(φ | I(m | ·)).
[−kAk, kAk] φ ∈ H
µ(φ | dx) µ(φ | dx)
Bor([−kAk, kAk])
[−kAk, kAk]
[−kAk, kAk] \ σ(A)
µ(φ | dx)
Bor([−kAk, kAk])
f 7→ I(φ | f) A
Opb
A
: Bor([−kAk, kAk]) 7→ L(H 7→ H)
Bor([−kAk, kAk])
L(H 7→ H) Opb
A
f ∈ Bor([−kAk, kAk])
H
B(φ , ψ | f) :=
1
4
X
0≤k≤3
i
k
[I(i
k
φ + ψ | f).
f ∈ Bor([a , b])
|B(φ , ψ | f)| ≤ kφkkψksup{|f(λ)| | λ ∈ [a , b]}.
Opb
A
Opb
A
f ∈ Bor([−kAk, kAk]) Opb
A
(f) =
f(A)
B(φ , ψ | f) =< φ , f(A)ψ >,
Îïðåäåëåíèå 4.5.1. Ôóíêöèîíàë f       7 → I(φ | f ) -ýòî ïîñòðîåííîå ïî
ñõåìå Äàíèýëÿ ðàñøèðåíèå ýëåìåíòàðíîãî èíòåãðàëà I0 (φ | f ) è µ(φ | dx)
-ìåðà íà îòðåçêå [−kAk , kAk], êîòîðàÿ ïîðîæäåíà èíòåãðàëîì I(φ | f ):

          ∀(m ∈ B([−kAk , kAk])) : µ(φ | m) := I(φ | I(m | ·)).

    Èç òåîðåìû 1.2.2 (ñì. ñòð. 55) ñëåäóåò, ÷òî ëþáîå áîðåëåâñêîå ïîäìíî-
æåñòâî îòðåçêà [−kAk , kAk] ïðè ëþáîì φ ∈ H èçìåðèìî îòíîñèòåëüíî
ìåðû µ(φ | dx) è ïðîñòðàíñòâî èíòåãðèðóåìûõ ïî ìåðå µ(φ | dx) ôóíêöèé
ñîäåðæèò ìíîæåñòâî Bor([−kAk , kAk]) âñåõ îãðàíè÷åííûõ èçìåðèìûõ
ïî Áîðåëþ ôóíêöèé íà îòðåçêå [−kAk , kAk].
    Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî [−kAk , kAk] \ σ(A) åñòü ìíîæåñòâî
ìåðû íóëü îòíîñèòåëüíî ìåðû µ(φ | dx).
    Ìíîæåñòâî Bor([−kAk , kAk]) åñòü àëãåáðà îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé
ïîòî÷å÷íîãî ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ôóíêöèé. Ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà
f 7→ I(φ | f ) ìû ïîñòðîèì çàâèñÿùèé îò îïåðàòîðà A ãîìîìîðôèçì

                OpbA : Bor([−kAk , kAk]) 7→ L(H 7→ H)              (4.119)

àëãåáðû Bor([−kAk , kAk]) â íåêîòîðóþ êîììóòàòèâíóþ ïîäàëãåáðó àë-
ãåáðû L(H 7→ H). Ãîìîìîðôèçì OpbA ìû áóäåì ñòðîèòü òàê. Ôèêñèðó-
åì ôóíêöèþ f ∈ Bor([−kAk , kAk]), êîòîðàÿ ïðèíèìàåò äåéñòâèòåëüíûå
çíà÷åíèÿ. Èñïîëüçóÿ ïîëÿðèçàöèîííîå òîæäåñòâî, íà ïðîñòàíñòâå H ïî-
ñòðîèì áèëèíåéíóþ ôîðìó
                                    1 X k
                 B(φ , ψ | f ) :=           i [I(ik φ + ψ | f ).   (4.120)
                                    4 0≤k≤3

Èç îöåíêè (4.117) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîé äåéñòâèòåëüíîé îãðàíè÷åííîé
ôóíêöèè f ∈ Bor([a , b]) áèëèíåéíàÿ ôîðìà (4.120) óäîâëåòâîðÿåò íåðà-
âåíñòâó
             |B(φ , ψ | f )| ≤ kφkkψk sup{|f (λ)| | λ ∈ [a , b]}. (4.121)
Èç ýòîãî íåðàâåíñòâà è òåîðåìû Ëàêñà-Ìèëüãðàìà-Âèøèêà (ñì. ñòð. 282)
ñëåäóåò, ÷òî áèëèíåéíàÿ ôîðìà (4.120) çàäàåòñÿ ëèíåéíûì íåïðåðûâíûì
îïåðàòîðîì.
   Ðàñøèðèì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ îòîáðàæåíèÿ OpbA .

Îïðåäåëåíèå 4.5.2. Îòîáðàæåíèå Opb     A êàæäîé äåéñòâèòåëüíîé ôóíê-
öèè f ∈ Bor([−kAk , kAk]) ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå îïåðàòîð OpbA (f ) =
f (A), êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó

                      B(φ , ψ | f ) =< φ , f (A)ψ >,               (4.122)

                                      316

Страницы