Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 329 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

B(φ , ψ | f)
Opb
A
Opb
A
Opb
A
Opb
A
: Bor([−kAk, kAk]) 3 (αf + βg) 7→ (αf(A) + βg(A)) ∈ L(H 7→ H).
Opb
A
Opb
A
: Bor([−kAk, kAk]) 3 f(x) · g(x) 7→ f(A)g(A)) ∈ L(H 7→ H).
Opb
A
Opb
A
: 1 7→ id.
Opb
A
Opb
A
(φ
∗
) = Opb
A
(φ)
∗
,
φ
∗
φ , Opb
A
(φ)
∗
Opb
A
(φ)
f
kf(A)k ≤ sup{|f(λ)| | λ ∈ [−kAk, kAk]}.
∀(x ∈ [−kAk, kAk]) : f
n
(x) → 0 , ∀n : |f
n
(x)| ≤ const.,
∀(φ , ψ ∈ H) : < φ , f
n
(A)ψ >→ 0 , n → ∞.
Opb
A
ãäå áèëèíåéíàÿ ôîðìà B(φ , ψ | f ) îïðåäåëåíà ðàâåíñòâîì (4.120).
   Íà êîìïëåêñíûå ôóíêöèè îòîáðàæåíèå OpbA ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïî ëè-
íåéíîñòè.

Òåîðåìà 4.5.1. Îòîáðàæåíèå Opb           A óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëî-
âèÿì.
      1. Îòîáðàæåíèå   OpbA   ëèíåéíî:

OpbA : Bor([−kAk , kAk]) 3 (αf + βg) 7→ (αf (A) + βg(A)) ∈ L(H 7→ H).

2. Îòîáðàæåíèå      OpbA   ïðîèçâåäåíèå ôóíêöèé ïåðåâîäèò â êîìïîçèöèþ
îïåðàòîðîâ:

      OpbA : Bor([−kAk , kAk]) 3 f (x) · g(x) 7→ f (A)g(A)) ∈ L(H 7→ H).

3.Îòîáðàæåíèå      OpbA    ïåðåâîäèò ôóíêöèþ, òîæäåñòâåííî ðàâíóþ åäè-
íèöå, â åäèíè÷íûé îïåðàòîð:

                                 OpbA : 1 7→ id.

4. Îòîáðàæåíèå      OpbA    äåéñòâèòåëüíûå ôóíêöèè ïåðåâîäèò â ñàìîñî-
ïðÿæåííûå îïåðàòîðû, íåîòðèöàòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ôóíêöèè ïå-
ðåâîäèò â íåîòðèöàòåëüíûå îïåðàòîðû è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ

                             OpbA (φ∗ ) = OpbA (φ)∗ ,                   (4.123)

ãäåφ∗ -ôóíêöèÿ, êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííàÿ ôóíêöèè φ , OpbA (φ)∗ -îïåðàòîð,
ãèëüáåðòîâî ñîïðÿæåííûé îïåðàòîðó OpbA (φ).
   5. Åñëè ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ, òî ñïðà-
âåäëèâà îöåíêà

                  kf (A)k ≤ sup{|f (λ)| | λ ∈ [−kAk , kAk]}.            (4.124)

6. Åñëè

           ∀(x ∈ [−kAk , kAk]) : fn (x) → 0 , ∀n : |fn (x)| ≤ const.,

òî
                 ∀(φ , ψ ∈ H) : < φ , fn (A)ψ >→ 0 , n → ∞.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû î÷åâèäíû äëÿ ïîëèíîìîâ, à
äëÿ îñòàëüíûõ ôóíêöèé ïîëó÷àþòñÿ ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì.
   Îòîáðàæåíèå OpbA èíîãäà íàçûâàåòñÿ áîðåëåâñêèì îïåðàòîðíûì èñ-
÷èñëåíèåì. Îñîáóþ ðîëü â ýòîì èñ÷èñëåíèè èãðàåò ðàññìàòðèâàåìûé êàê

                                       317

Страницы