Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 331 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

λ 7→ E(λ , A)
(λ
2
≥ λ
1
) ⇒ (E(λ
2
, A) ≥ E(λ
1
, A))
λ λ 7→ E(λ , A)
∀(φ ∈ H , λ ∈ R
1
) : lim
→+0
k(E(λ + , A) − E(λ , A))φk = 0.
∀(λ
1
∈ R
1
, λ
2
∈ R
1
) : E(λ
1
, A)E(λ
2
, A) = E(min(λ
1
, λ
2
) , A).
(λ
1
, λ
2
]
\
(λ
3
, λ
4
] = ∅
(E(λ
2
, A) − E(λ
1
, A)) · (E(λ
4
, A) − E(λ
3
, A)) = 0.
f [a , b]
∀(φ ∈ H) : < φ , f(A)φ >=
Z
b
a
f(λ)d
λ
< φ , E(λ , A)φ >,
f
λ →< φ , E(λ , A)φ > .
< φ , E(λ − 0 , A)φ >=< φ , E(λ + 0 , A)φ >,
< φ , E(λ , A)φ >=
lim
→+0
1
2πi
Z
λ
−∞
< φ , (R(σ −i , A) −R(σ + i , A))φ > dσ.
2. Îïåðàòîðíàÿ ôóíêöèÿ            λ 7→ E(λ , A)          íåóáûâàåò:

                          (λ2 ≥ λ1 ) ⇒ (E(λ2 , A) ≥ E(λ1 , A))

è â êàæäîé òî÷êå           λ   ôóíêöèÿ   λ 7→ E(λ , A)          íåïðåðûâíà ñïðàâà â òîì
ñìûñëå, ÷òî

          ∀(φ ∈ H , λ ∈ R1 ) : lim k(E(λ +  , A) − E(λ , A))φk = 0.
                                    →+0


3. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

  ∀(λ1 ∈ R1 , λ2 ∈ R1 ) : E(λ1 , A)E(λ2 , A) = E(min(λ1 , λ2 ) , A).                   (4.129)

4. Åñëè
                                              \
                                 (λ1 , λ2 ]    (λ3 , λ4 ] = ∅
òî
               (E(λ2 , A) − E(λ1 , A)) · (E(λ4 , A) − E(λ3 , A)) = 0.
5. Åñëè ôóíêöèÿ       f   íåïðåðûâíà ñïðàâà íà îòðåçêå               [a , b],   òî ñïðàâåäëèâî
ðàâåíñòâî

                                             Z    b
      ∀(φ ∈ H) : < φ , f (A)φ >=                      f (λ)dλ < φ , E(λ , A)φ >,       (4.130)
                                              a

ãäå äëÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè              f    èíòåãðàë ìîæíî ïîíèìàòü êàê èíòå-
ãðàë Ðèìàíà-Ñòèëüòüåñà ïî íåóáûâàþùåé ôóíêöèè

                                 λ →< φ , E(λ , A)φ > .

 îáùåì ñëó÷àå èíòåãðàë â             (4.130) ïîíèìàåòñÿ êàê èíòåãðàë Ëåáåãà-
Ñòèëüòüåñà.
     6. Åñëè

                  < φ , E(λ − 0 , A)φ >=< φ , E(λ + 0 , A)φ >,                         (4.131)

òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

       < φ , E(λ , A)φ >=
               Z λ
             1
        lim          < φ , (R(σ − i , A) − R(σ + i , A))φ > dσ.                      (4.132)
       →+0 2πi −∞



                                                 319

Страницы