Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 332 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∀(x ∈ [a , b]) : I([a , λ]) | x)
2
= I([a , λ]) | x)
Opb
A
∀(λ ∈ [a , b] ,
n
→ 0) : [a , λ] =
\
n
[a , λ +
n
],
∀(λ , ξ ∈ [a , b]) : I([a , λ + 0] | ξ) = I([a , λ] | ξ).
∀(φ , ψ ∈ H) : < φ , E(λ + 0 , A)ψ >=< φ , E(λ , A)ψ > .
∀(φ ∈ H) : k(E(λ , A) − E(λ + , A))φk
2
=
< φ , (E(λ , A) − E(λ + , A))φ >→ 0 , → 0.
I([a , λ
1
]) | x) · I([a , λ
2
]) | x) = I([a , min(λ
1
, λ
2
)]) | x).
1
2πi
Z
λ
−∞
< φ , (R(σ −i , A) −R(σ + i , A))φ > dσ =
1
2πi
Z
a≤x≤b
λ
Z
−∞
(σ − i − x)
−1
− (σ + i − x)
−1
dσ
µ(φ | dx) =
1
π
Z
a≤x≤b
arctg
(λ − x)
+
π
2
µ(φ | dx)
   Äîêàçàòåëüñòâî. Óòâåðæäåíèå 1 ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî õàðàêòåðèñòè-
÷åñêàÿ ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó

                        ∀(x ∈ [a , b]) : I([a , λ]) | x)2 = I([a , λ]) | x)

è òîãî ôàêòà, ÷òî îòîáðàæåíèå OpbA åñòü àëãåáðàè÷åñêèé ãîìîìîðôèçì.
   Äîêàæåì óòâåðæäåíèå 2. Òàê êàê
                                                                  \
                    ∀(λ ∈ [a , b] , n → 0) : [a , λ] =                 [a , λ + n ],
                                                                   n

òî

                    ∀(λ , ξ ∈ [a , b]) : I([a , λ + 0] | ξ) = I([a , λ] | ξ).

 ñèëó òåîðåìû 4.5.1 îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

          ∀(φ , ψ ∈ H) : < φ , E(λ + 0 , A)ψ >=< φ , E(λ , A)ψ > .

Íî

                    ∀(φ ∈ H) : k(E(λ , A) − E(λ +  , A))φk2 =
                     < φ , (E(λ , A) − E(λ +  , A))φ >→ 0 ,  → 0.

Óòâåðæäåíèå 3 ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ óäî-
âëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó

            I([a , λ1 ]) | x) · I([a , λ2 ]) | x) = I([a , min(λ1 , λ2 )]) | x).

Óòâåðæäåíèå 4 ñëåäóåò èç óòâåðæäåíèÿ 3. Óòâåðæäåíèå 5 ñëåäóåò èç
òåîðåìû 1.2.3 (ñì. ñòð. 55).
   Äîêàæåì óòâåðæäåíèå 6. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
            Z   λ
       1
                     < φ , (R(σ − i , A) − R(σ + i , A))φ > dσ =
      2πi       −∞

       1
                Z      Zλ                                      
                                (σ − i − x)−1 − (σ + i − x)−1 dσ µ(φ | dx) =
      2πi
            a≤x≤b −∞
                                                     
                                    (λ − x)
            Z
      1                                             π
                        arctg                     +         µ(φ | dx)                    (4.133)
      π                                            2
          a≤x≤b



                                                    320

Страницы