Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 334 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Z
f(λ)d
λ
E(λ , A)ψ = g,
Z
f(λ)d
λ
E(λ , A) : ψ 7→
Z
f(λ)d
λ
E(λ , A)ψ.
A
H
E(λ , A)φ =
X
λ
j
≤λ
< e
j
, φ > e
j
.
H L
2
(D , dx)
θ(x , y , λ) =
X
λ
j
≤λ
e
j
(x)e
j
(y).
A
x L
2
([0 , 1] , dx)
Aφ(x) = xφ(x).
A
x A
[a , λ]
E(λ , A)φ(x) = I([a , λ]) | x)φ(x).
L
2
([0 , 1] , dx)
B : Bφ(x) = xφ(x) + µ
Z
1
0
α(x)φ(x)dx
α(x) , α ∈ C
∞
0
([0 , 1]).
α(x)
x = 0 , x = 1
Åñëè âûïîëíåíî ðàâåíñòâî (4.135), òî ìû ïîëîæèì ïî îïðåäåëåíèþ
             Z
                                  def
               f (λ)dλ E(λ , A)ψ = g,                        (4.136)
             Z                        Z
               f (λ)dλ E(λ , A) : ψ 7→ f (λ)dλ E(λ , A)ψ.    (4.137)

   Ðàññìîòðèì ïðèìåðû.
   1. Ïóñòü A -êîìïàêòíûé ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð â ãèëüáåðòîâîì
ïðîñòðàíñòâå H . Èç (4.40) ñëåäóåò, ÷òî
                                  X
                     E(λ , A)φ =      < ej , φ > ej .      (4.138)
                                       λj ≤λ


Åñëè ïðîñòðàíñòâî H åñòü L2 (D , dx), òî ñïåêòðàëüíàÿ ôóêöèÿ åñòü èí-
òåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ ÿäðîì
                                    X
                     θ(x , y , λ) =    ej (x)ej (y).
                                         λj ≤λ

2. Ïóñòü îïåðàòîð A -îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íà íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ
x â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå L2 ([0 , 1] , dx):

                               Aφ(x) = xφ(x).

Òîãäà ïîëèíîì îò îïåðàòîðà A -ýòî îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íà ïîëèíîì îò
íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé x, è ñïåêòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ îïåðàòîðà A -ýòî
îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íà õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ îòðåçêà [a , λ]:

                   E(λ , A)φ(x) = I([a , λ]) | x)φ(x).

3. Ñëåäóþùèé ïðèìåð íàçûâàåòñÿ ìîäåëüþ Ôðèäåðèõñà è ÷àñòî èñïîëçó-
åòñÿ ïðè ðàññìîòðåíèè çàäà÷ êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Ìû ðàññìîòðèì ýòîò
ïðèìåð â óïðîùåííîé ôîðìóëèðîâêå è âûäåëèì åãî â îòäåëüíûé ïàðà-
ãðàô.

   Ìîäåëü Ôðèäåðèõñà.              Â ïðîñòðàíñòâå L2 ([0 , 1] , dx) ðàññìîòðèì
îïåðàòîð
                         Z    1                 
 B : Bφ(x) = xφ(x) + µ             α(x)φ(x)dx α(x) , α ∈ C0∞ ([0 , 1]). (4.139)
                           0

Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ìû ïðåäïîëàãàåì ôóíêöèþ α(x) äåéñòâè-
òåëüíîé, ãëàäêîé è ðàâíîé íóëþ â îêðåñòíîñòè òî÷åê x = 0 , x = 1.

                                       322

Страницы