Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 335 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

a = A , Aφ(x) = xφ(x) , b = B , (b − a)φ(x) = µ < α , φ > α(x).
Im λ 6= 0 A
B λ ∈ res(A)
T
res(B)
T (λ , A , B)
(b−a) α(x)
T (λ , A , B)
α(x)
T (λ , A , B)φ(x) = c(λ , φ)α(x).
c(λ , φ)
c(λ , φ) = µ < α , φ > +µ < α , R(λ , A)α > c(λ , φ).
g(λ) :=< α , R(λ , A)α >=
Z
1
0
(λ −x)
−1
α(x)
2
dx , Im λ 6= 0.
α(x) g(λ)
λ 6∈ [0 , 1] λ → ∞
λ ∈ (0 , 1)
g(λ − i0) − g(λ + i0) = 2πiα(λ)
2
.
|1 − µg(λ ± i0)| > 0 . λ ∈ R
1
c(λ , φ) =
µ < α , φ >
1 − µg(λ)
,
(0 , 1)
Q
Q(λ , A , B)φ(x) =
φ(x) + µ(1 − µg(λ))
−1
Z
1
0
(λ − x)
−1
α(x)φ(x)dx
α(x) , λ 6∈ [0 , 1].
    Âîñïîëüçóåìñÿ èçëîæåííîé â ëåììå 3.10.3 (ñì. ñòð. 246) êîíñòðóêöè-
åé.  íàøåì ñëó÷àå
     a = A , Aφ(x) = xφ(x) , b = B , (b − a)φ(x) = µ < α , φ > α(x).
Ñíà÷àëà áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî Im λ 6= 0. Òàê êàê îïåðàòîðû   T A è
B ñàìîñîïðÿæåíû, òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå λ ∈ res(A) res(B)
è îïåðàòîð T (λ , A , B) îïðåäåëåí. Òàê êàê â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå
îáëàñòü çíà÷åíèé îïåðàòîðà (b−a) îäíîìåðíà è íàòÿíóòà íà âåêòîð α(x),
îáëàñòü çíà÷åíèé îïåðàòîðà T (λ , A , B) òàêæå áóäåò íàòÿíóòà íà âåêòîð
α(x). Ñëåäîâàòåëüíî,
                     T (λ , A , B)φ(x) = c(λ , φ)α(x).                            (4.140)
Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â óðàâíåíèå (3.114), ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèå
äëÿ îïðåäåëåíèÿ c(λ , φ):
       c(λ , φ) = µ < α , φ > +µ < α , R(λ , A)α > c(λ , φ).                      (4.141)
Ïîëîæèì
                                       Z    1
    g(λ) :=< α , R(λ , A)α >=                   (λ − x)−1 α(x)2 dx , Im λ 6= 0.   (4.142)
                                        0

Åñëè âûïîëíåíû íàøè ïðåäïîëîæåíèÿ î ôóíêöèè α(x), òî ôóíêöèÿ g(λ)
àíàëèòè÷íà â îáëàñòè λ 6∈ [0 , 1], ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè λ → ∞ è ïðè
λ ∈ (0 , 1) ñóùåñòâóåò ïðåäåë
                    g(λ − i0) − g(λ + i0) = 2πiα(λ)2 .
 äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî
                         |1 − µg(λ ± i0)| > 0 . λ ∈ R1                            (4.143)
Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî íåðàâåíñòâî áóäåò âûïîëíåíî è â íåêîòîðîé îêðåñò-
íîñòè äåéñòâèòåëüíîé îñè. Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (4.143), òî
                                                 µ < α, φ >
                           c(λ , φ) =                       ,                     (4.144)
                                                  1 − µg(λ)
è ëåâàÿ ÷àñòü (4.144) àíàëèòè÷íà â îêðåñòíîñòè èíòåðâàëà (0 , 1).
   Èç (4.140) ñëåäóåò, ÷òî â íàøåì ñëó÷àå îïåðäåëåííûé â ëåììå 3.10.3
îïåðàòîð Q âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
    Q(λ , A , B)φ(x) =
                              Z   1                              
                         −1                         −1
    φ(x) + µ(1 − µg(λ))                (λ − x) α(x)φ(x)dx α(x) , λ 6∈ [0 , 1].
                               0
                                                                                  (4.145)

                                                323

Страницы