Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 333 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

µ(φ | dx) x = λ
µ(φ | dx) : lim
→+0
1
π
arctg
(λ − x)
+
π
2
= I([a , λ]) | x).
E(λ , A) A
µ(φ | dx)
λ 7→< φ , E(λ , A)g >
Z
f(λ)d
λ
< φ , E(λ , A)ψ >= B(φ , ψ | f),
φ = ψ
Z
f(λ)d
λ
< φ , E(λ , A)ψ >=
Z
d
λ
< f(A)φ , E(λ , A)ψ >=
Z
d
λ
< φ , E(λ , A)f (A)ψ >,
Z
d
λ
< φ , E(λ , A)ψ >=< φ , ψ > .
f ψ
φ 7→
Z
f(λ)d
λ
< φ , E(λ , A)ψ >
∃(g ∈ H) , ∀(φ ∈ H) : < φ , g >=
Z
f(λ)d
λ
< φ , E(λ , A)ψ > .
Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (4.131), òî µ(φ | dx)-ìåðà òî÷êè x = λ ðàâíà
íóëþ, ïîýòîìó
                                                 
                           1          (λ − x)     π
     µ(φ | dx) ï.â. : lim     arctg             +     = I([a , λ]) | x).
                      →+0 π                     2
Ïåðåõîäÿ íà îñíîâå òåîðåìû Ëåáåãà ê ïðåäåëó â (4.133), ìû ïîëó÷àåì
ðàâåíñòâî (4.132).
   Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Çàìåòèì, ÷òî èç óòâåðæäåíèÿ 6 ñëåäóåò, ÷òî ñïåêòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ
E(λ , A) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ îïåðàòîðîì A è ÷òî ðåçîëüâåíòíîå
ìíîæåñòâî åñòü ìíîæåñòâî ìåðû íîëü îòíîñèòåëüíî ìåðû µ(φ | dx).
   Ôóíêöèÿ
                        λ 7→< φ , E(λ , A)g >
ìîæåò ïðèíèìàòü êîìïëåêñíûå çíà÷åíèÿ è ïðè ïðèíÿòîì íàìè îïðåäå-
ëåíèè èíòåãðàëà Ðèìàíà-Ñòèëüòüåñà ìû íå ìîæåì âçÿòü åå êàê èíòåãðè-
ðóþùóþ ôóíêöèþ. Ìû ïðèìåì ñëåäóþùåå
Îïðåäåëåíèå 4.5.4. Ïîëîæèì
               Z
                                             def
                   f (λ)dλ < φ , E(λ , A)ψ > = B(φ , ψ | f ),    (4.134)

ãäå ñòîÿùàÿ â ïðàâîé ÷àñòè áèëèíåéíàÿ ôîðìà çàäàíà ðàâåíñòâîì (4.120).
   Åñëè φ = ψ , òî èíòåãðàë (4.134) ìîæíî ïîíèìàòü êàê èíòåãðàë Ëåáåãà-
Ñòèëüòüåñà.
   Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ (ñì. îïðåäåëåíèå 4.5.2 íà ñòð. 316)
ñëåäóþò ðàâåíñòâà
       Z
          f (λ)dλ < φ , E(λ , A)ψ >=
       Z                              Z
          dλ < f (A)φ , E(λ , A)ψ >= dλ < φ , E(λ , A)f (A)ψ >,
       Z
          dλ < φ , E(λ , A)ψ >=< φ , ψ > .

   Ïðè ôèêñèðîâàííû f è ψ ôóíêöèîíàë
                      Z
                 φ 7→ f (λ)dλ < φ , E(λ , A)ψ >

ñîïðÿæåííî-ëèíååí è íåïðåðûâåí, ïîýòîìó íà îñíîâå òåîðåìû Ðèññà
                                  Z
  ∃(g ∈ H) , ∀(φ ∈ H) : < φ , g >= f (λ)dλ < φ , E(λ , A)ψ > . (4.135)

                                    321

Страницы