Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 337 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∀(φ ∈ C
∞
0
([0 , 1])) :
Z
1
0
|φ(x)|
2
dx =
Z
1
0
|Z
+
(φ)(λ)|
2
dλ.
C
∞
0
([0 , 1])
Z
+
: φ(x) 7→ Z
+
(φ)(λ)
L
2
([0 , 1])
B
Z
−1
+
: φ(x) = Z
+
φ(λ)|
λ=x
+
µ
Z
1
0
(1 − µg(λ − i0))
−1
(λ − i0 − x)
−1
α(λ)Z
+
(φ)(λ)dλ
α(x).
Z
1
0
ψ(x)
∗
φ(x)dx =
Z
1
0
Z(ψ)(λ)
∗
Z(φ)(λ)dλ
Z(ψ)(λ)
∗
ψ(x)
∗
dx
ψ(x)
∗
R(λ , B)
T
∀(ψ ∈ L
2
([0 , 1])) : R(λ , B)ψ − R(λ , A)ψ = R(λ , A)(B − A)R(λ , B)ψ,
(B − A)R(λ , B)ψ = µ < α , R(λ , B)ψ > α,
< α , R(λ , B)ψ > − < α , R(λ , A)ψ >= µ < α , R(λ , B)ψ >< α , R(λ , A)α >,
< α , R(λ , B)ψ >= (1 − µ < α , R(λ , A)α >)
−1
< α , R(λ , A)ψ >,
R(λ , B)ψ = R(λ , A)ψ + (1 − µ < α , R(λ , A)α >)
−1
< α , R(λ , A)ψ > α .
ψ = α
l
2
∈ {f(j)} :
X
−∞<j<∞
|f(j)|
2
< ∞.
Èç (4.149) ñëåäóåò ðàâåíñòâî
                             Z 1             Z   1
               ∞
       ∀(φ ∈ C0 ([0 , 1])) :           2
                                 |φ(x)| dx =         |Z+ (φ)(λ)|2 dλ.   (4.151)
                             0               0

Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðâîíà÷àëüíî îïðåäåëåííîå íà C0∞ ([0 , 1]) ïðåîáðàçîâà-
íèå
                       Z+ : φ(x) 7→ Z+ (φ)(λ)                    (4.152)
ðàñøèðÿåòñÿ äî óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîñòðàíñòâà L2 ([0 , 1]) â ñå-
áÿ. Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå äèàãîíàëèçóåò îïåðàòîð B , à îáðàòíîå ïðåîáðà-
çîâàíèå äàåòñÿ ôîðìóëîé

   Z+−1 : φ(x) = Z+ φ(λ)|λ=x +
     Z 1                                              
   µ                      −1           −1
          (1 − µg(λ − i0)) (λ − i0 − x) α(λ)Z+ (φ)(λ)dλ α(x).           (4.153)
       0

Ýòà ôîðìóëà ïîëó÷àåòñÿ òàê.  ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà
              Z 1               Z 1
                      ∗
                  ψ(x) φ(x)dx =     Z(ψ)(λ)∗ Z(φ)(λ)dλ                  (4.154)
                  0                   0

â ôîðìóëå äëÿ Z(ψ)(λ)∗ èíòåãðèðîâàíèå ôóíêöèè ψ(x)∗ ïî dx ñòàâèì ïî-
ñëåäíèì è ïðèðàâíèâàåì ìíîæèòåëü ïåðåä ψ(x)∗ â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòè
ðàâåíñòâà (4.154).
   Ïðèâåäåì âûâîä ôîðìóëû äëÿ R(λ , B), êîòîðûé íå èñïîëüçóåò ôîð-
ìàëèçì T -ìàòðèöû.
   Èç âòîðîãî ðåçîëüâåíòíîãî óðàâíåíèÿ èìåì:

∀(ψ ∈ L2 ([0 , 1])) : R(λ , B)ψ − R(λ , A)ψ = R(λ , A)(B − A)R(λ , B)ψ,
(B − A)R(λ , B)ψ = µ < α , R(λ , B)ψ > α,
 < α , R(λ , B)ψ > − < α , R(λ , A)ψ >= µ < α , R(λ , B)ψ >< α , R(λ , A)α >,
 < α , R(λ , B)ψ >= (1 − µ < α , R(λ , A)α >)−1 < α , R(λ , A)ψ >,
                                                                   (4.155)
R(λ , B)ψ = R(λ , A)ψ + (1 − µ < α , R(λ , A)α >)−1 < α , R(λ , A)ψ > α .
Ôîðìóëà (4.155) ïðè ψ = α aíàçûâàåòñÿ ôîìóëîé Êðåéíà-Àðîíøàéíà.
   Ê ìîäåëè Ôðèäåðèõñà ñâîäÿòñÿ ìíîãèå çàäà÷è êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Â
êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèé ñëó÷àé ìîäåëè ñèëüíîé ñâÿçè.
 ýòîé ìîäåëè ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé åñòü ïðîñòðàíñòâî
ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
                                 X
                  l2 ∈ {f (j)} :      |f (j)|2 < ∞.
                                   −∞

Страницы