Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 338 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A B
Af(j) = 2f(j) − f(j + 1) − f(j − 1) , V f(j) = µδ
0
j
f(0) , B = A + V.
U : l
2
7→ L
2
([0 , 1]) , U(f)(x) =
X
j
f(j) exp(2πij)
A
U(Af)(x) = 2(1 − cos(2πx))U(f)(x),
V
U(V f)(x) = µ
Z
1
0
U(f)(x)dx.
x
B
U ∈ L(H 7→ H)
U
∗
U = UU
∗
= id.
L
2
([0 , 1])
exp(iω(x)) ω(x)
C([0 , 2π])
[0 , 2π]
∀(f ∈ C([0 , 2π])) : f(0) = f(2π).
Îïåðàòîðû A è B çàäàþòñÿ ôîðìóëàìè

   Af (j) = 2f (j) − f (j + 1) − f (j − 1) , V f (j) = µδj0 f (0) , B = A + V.

Ïðåîáðàçîâàíèå
                                                      X
             U : l2 7→ L2 ([0 , 1]) , U (f )(x) =           f (j) exp(2πij)
                                                        j


óíèòàðíî è îáðàç îïåðàòîðà A ïðè ýòîì ïðåîáðàçîâàíèè åñòü îïåðàòîð
óìíîæåíèÿ íà ôóíêöèþ:

                    U (Af )(x) = 2(1 − cos(2πx))U (f )(x),

à îáðàç îïåðàòîðà V åñòü èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ âûðîæäåííûì ÿäðîì:
                                          Z    1
                        U (V f )(x) = µ            U (f )(x)dx.
                                           0

ßñíî, ÷òî çàìåíîé ïåðåìåííîé x çàäà÷à î âû÷èñëåíèè ñïåêòðàëüíîé ôóíê-
öèè îïåðàòîðà B ñâîäèòñÿ ê ïðåäûäóùåé çàäà÷å.


4.6     Ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå óíèòàðíûõ îïå-

        ðàòîðîâ.

Î÷åâèäíà

Ëåììà 4.6.1. Îïåðàòîð U ∈ L(H 7→ H) -óíèòàðíûé îïåðàòîð, åñëè
                               U ∗ U = U U ∗ = id.

   Ïðèìåð óíèòàðíîãî îïåðàòîðà â ïðîñòðàíñòâå L2 ([0 , 1]) - îïåðàòîð
óìíîæåíèÿ íà ôóíêöèþ exp(iω(x)), ãäå ω(x) -äåéñòâèòåëüíàÿ èçìåðèìàÿ
ôóíêöèÿ. Íèæå ìû óâèäèì, ÷òî â íåêîòîðîì ñìûñëå âñå óíèòàðíûå îïå-
ðàòîðû ïîõîæè íà ýòîò îïåðàòîð. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò ýòîãî ïàðàãðàôà
-òåîðåìà 4.6.2. Äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû ìû ïðåäïîøëåì íåñêîëüêî ëåìì.
Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî íàøè ïîñòðîåíèÿ âî ìíîãîì àíàëîãè÷íû
ïðåäûäóùèì.
   Íèæå ñèìâîëîì C([0 , 2π]) ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ìíîæåñòâî âñåõ íåïðå-
ðûâíûõ íà îòðåçêå [0 , 2π] ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé:

                      ∀(f ∈ C([0 , 2π])) : f (0) = f (2π).

                                       326

Страницы