Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 340 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

F (z) ≡
e
F (z).
z = a
j
p
2m
(z)
z = (1/a
j
)
∗
p
2m
(z)
p
2m
(z) |z| = 1
F (z) = z
−m
c
Y
1≤j≤m
((z −a
j
)(z −(1/a
j
)
∗
)) = ec
Y
1≤j≤m
((z −a
j
)(z
−1
− a
∗
j
))
ec
U U
Op
U
: A 7→ L(H 7→ H)
Op
U
(
X
0≤k≤m
(α
k
exp(ikθ) + β
k
exp(−ikθ))) = (
X
0≤k≤m
(α
k
U
k
+ β
k
U
−k
)).
Op
U
A
L(H 7→ H)
Op
U
(f
∗
) = Op
U
(f)
∗
,
f
∗
f Op
U
(f)
∗
Op
U
(f)
Op
U
Op
U
(αf
1
+ βf
2
) = αOp
U
(f
1
) + βOp
U
(f
2
),
Op
U
(f
1
· f
2
) = Op
U
(f
1
) · Op
U
(f
2
)
U
−1
= U
∗
.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
                                F (z) ≡ Fe(z).
Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè òî÷êà
                                    z = aj
åñòü íîëü ïîëèíîìà p2m (z), òî òî÷êà
                                 z = (1/aj )∗
òàêæå íîëü ïîëèíîìà p2m (z). Åñëè íåðàâåíñòâî â (4.154) ñòðîãîå, òî îò-
ñþäà ñëåäóåò ÷òî íóëè ïîëèíîìà p2m (z) íå ëåæàò íà îêðóæíîñòè |z| = 1
è
                 Y                                Y
  F (z) = z −m c   ((z − aj )(z − (1/aj )∗ )) = e
                                                c   ((z − aj )(z −1 − a∗j ))
                 1≤j≤m                             1≤j≤m
                                                                              (4.159)
ßñíî, ÷òî êîíñòàíòà e
                    c äîæíà áûòü íåîòðèöàòåëüíîé. Ïðåäñòàâëåíèå (4.159)
äîêàçûâàåò ëåììó â ñëó÷àå ñòðîãî íåðàâåíñòâà â (4.154). Îáùèé ñëó÷àé
ïîëó÷àåòñÿ î÷åâèäíûì ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì.
   Ôèêñèðóåì óíèòàðíûé îïåðàòîð U . Ïî óíèòàðíîìó îïåðàòîðó U ïî-
ñòðîèì îòîáðàæåíèå
                         OpU : A 7→ L(H 7→ H)
ñîãëàñíî ôîðìóëå
         X                                                 X
   OpU (    (αk exp(ikθ) + βk exp(−ikθ))) =            (       (αk U k + βk U −k )).
         0≤k≤m                                         0≤k≤m
                                                                              (4.160)
Ëåììà 4.6.3. Îòîáðàæåíèå Op         U åñòü ãîìîìîðôèçì àëãåáðû               A   â àë-
ãåáðó   L(H 7→ H),   êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:

                            OpU (f ∗ ) = OpU (f )∗ ,                          (4.161)
ãäåf ∗ -ôóíêöèÿ, êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííàÿ ôóíêöèè f , OpU (f )∗ -îïåðàòîð,
ãèëüáåðòîâî ñîïðÿæåííûé îïåðàòîðó OpU (f ).

   Äîêàçàòåëüñòâî. Óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî îòîáðàæåíèå OpU åñòü ãî-
ìîìîðôèçì îçíà÷àåò, ÷òî
                  OpU (αf1 + βf2 ) = αOpU (f1 ) + βOpU (f2 ),
                  OpU (f1 · f2 ) = OpU (f1 ) · OpU (f2 )
è ïðîâåðÿåòñÿ ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì. Ôîðìóëà (4.161) åñòü ñëåäñòâèå ðà-
âåíñòâà
                            U −1 = U ∗ .

                                      328

Страницы