Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 341 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

P
m
Op
U
(P
m
)
P
m
∀θ : P
m
(exp(iθ) ≥ 0,
Op
U
(P
m
)
∀(φ ∈ H) : < φ , Op
U
(P
m
)φ >≥ 0.
| < φ , Op
U
(P
m
)φ >≤ sup{|P
m
(exp(iθ))| | θ ∈ [0 , 2π]}kφk
2
.
P
m
P
m
P
m
(exp(iθ)) = Q(exp(iθ))
∗
· Q(exp(iθ)) , Q ∈ A,
< φ , Op
U
(P
m
)φ >=< φ , Op
U
(Q
∗
Q)φ >=
< φ , Op
U
(Q
∗
)Op
U
(Q)φ >=< φ , Op
U
(Q)
∗
Op
U
(Q)φ >=
< Op
U
(Q)φ , Op
U
(Q)φ >≥ 0.
φ ∈ H
{P
m
} I
0
(φ | ·)
I
0
(φ | ·) : P
m
(exp(iθ)) 7→ I
0
(φ | P
m
) =< φ , Op
U
(P
m
)φ > .
I
0
(φ | ·) C([0 , 2π])
I
0
(φ | ·)
1.(f(θ) ∈ C([0 , 2π]) , f(θ) ≥ 0) ⇒ (I
0
(φ | f) ≥ 0).
2. ∀(f(θ) ∈ C([0 , 2π])) :
|I
0
(|φ | f)| ≤ sup{|f(θ)| | θ ∈ [0 , 2π]}kφk
2
.
Ëåììà 4.6.4. 1. Åñëè P          m -òðèãîíîìåòðè÷åêèé ïîëèíîì, òî         OpU (Pm )
-ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð.
     2. Åñëè   Pm   -íåîòðèöàòåëüíûé òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ïîëèíîì:

                                 ∀θ : Pm (exp(iθ) ≥ 0,

òî   OpU (Pm )    -íåîòðèöàòåëüíûé îïåðàòîð:

                         ∀(φ ∈ H) : < φ , OpU (Pm )φ >≥ 0.                 (4.162)

3. Äëÿ ëþáîãî òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ïîëèíîìà ñïðàâåäëèâà îöåíêà

      | < φ , OpU (Pm )φ >≤ sup{|Pm (exp(iθ))| | θ ∈ [0 , 2π]}kφk2 .       (4.163)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè Pm -òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ïîëèíîì, òî ïî îïðå-
äåëåíèþ îí ïðèíèìàåò äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ è ïåðâîå óòâåðæäåíèå
ëåììû ñëåäóåò èç (4.161). Åñëè òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ïîëèíîì Pm íåîò-
ðèöàòåëåí, òî â ñèëó ëåììû Ôåéåðà ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå

                 Pm (exp(iθ)) = Q(exp(iθ))∗ · Q(exp(iθ)) , Q ∈ A,

è èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (4.161) ìû ïîëó÷àåì:

              < φ , OpU (Pm )φ >=< φ , OpU (Q∗ Q)φ >=
              < φ , OpU (Q∗ )OpU (Q)φ >=< φ , OpU (Q)∗ OpU (Q)φ >=
              < OpU (Q)φ , OpU (Q)φ >≥ 0.

Òðåòüå óòâåðæäåíèå ëåììû åñòü î÷åâèäíîå ñëåäñòâèå âòîðîãî.
   Ëåììà äîêàçàíà.
Îïðåäåëåíèå 4.6.1. Äëÿ êàæäîãî φ   ∈ H íà àëãåáðå òðèãîíîìåòðè-
÷åñêèõ ïîëèíîìîâ {Pm } ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë I0 (φ | ·) îïðåäåëÿåòñÿ
ðàâåíñòâîì

       I0 (φ | ·) : Pm (exp(iθ)) 7→ I0 (φ | Pm ) =< φ , OpU (Pm )φ > .     (4.164)

Ëåììà 4.6.5. Îïðåäåëåííûé ôîðìóëîé                 (4.164) ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë
I0 (φ | ·)   ïî íåïðåðûâíîñòè ïðîäîëæàåòñÿ íà ïðîñòðàíñòâî            C([0 , 2π])
è ïðîäîëæåíèå (ìû îáîçíà÷àåì åãî òåì æå ñèìâîëîì) ôóíêöèîíàëà
I0 (φ | ·)   óäîâëåòâîðÿåò îöåíêàì:

             1.(f (θ) ∈ C([0 , 2π]) , f (θ) ≥ 0) ⇒ (I0 (φ | f ) ≥ 0).      (4.165)
             2. ∀(f (θ) ∈ C([0 , 2π])) :
             |I0 (|φ | f )| ≤ sup{|f (θ)| | θ ∈ [0 , 2π]}kφk2 .            (4.166)

                                          329

Страницы