Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 342 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f ∈ C([0 , 2π])
{P
m(n)
}
lim
n→∞
sup{|f(θ) − P
m(n)
(exp(iθ))| | θ ∈ [0 , 2π} = 0.
C([0 , 2π]) I
0
(φ | ·)
I
0
(φ | f) := lim
n→∞
< φ , Op(P
m(n)
)φ >,
P
m(n)
I
0
(φ | ·)
∀(θ ∈ [0 , 2π]) : f(θ) ≥ 0,
∀(n > 0 , θ ∈ [0 , 2π]) : P
m(n)
(exp(iθ)) ≥ 0,
C([0 , 2π])
I
0
(φ | ·)
I(φ | ·)
I
0
(φ | ·) µ(φ | dθ) [0 , 2π]
I(φ | ·)
µ(φ | dθ)
Bor([0 , 2π])
[0 , 2π] f ∈ Bor([0 , 2π])
B(φ , ψ | f)
φ 7→ I(φ | f)
Op
U
: Bor([0 , 2π]) 7→ L(H 7→ H),
   Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè f ∈ C([0 , 2π]), òî ïî òåîðåìå Âåéðøòðàññà
ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ
{Pm(n) }, ÷òî
          lim sup{|f (θ) − Pm(n) (exp(iθ))| | θ ∈ [0 , 2π} = 0.      (4.167)
         n→∞

Îïðåäåëåíèå 4.6.2. Íà ïðîñòðàíñòâå C([0 , 2π]) ôóíêöèîíàë I (φ | ·)  0
îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì
                    I0 (φ | f ) := lim < φ , Op(Pm(n) )φ >,          (4.168)
                                n→∞

åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Pm(n) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (4.167).
   Â ñèëó îöåíêè (4.163) ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî è îïðåäåëåííûé
ðàâåíñòâîì (4.168) ôóíêöèîíàë I0 (φ | ·) åñòü ïðîäîëæåíèå ïî íåïðåðûâ-
íîñòè ôóíêöèîíàëà (4.164). Åñëè
                          ∀(θ ∈ [0 , 2π]) : f (θ) ≥ 0,
òî ìû ìîæåì âûáðàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîãî÷ëåíîâ â (4.167) òàê, ÷òî
áóäåò âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
                 ∀(n > 0 , θ ∈ [0 , 2π]) : Pm(n) (exp(iθ)) ≥ 0,
à îòñþäà ñëåäóåò íåðàâåíñòâî (4.165). Âòîðîå óòâåðæäåíèå ëåììû åñòü
î÷åâèäíîå ñëåäñòâèå ïåðâîãî. Ëåììà äîêàçàíà.
   Íàøè äàëüíåéøèå ðàñóæäåíèÿ ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþò ñ òåìè, êîòîðûå
áûëè ïðîâåäåíû äëÿ ñëó÷àÿ ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ. Ðàññìîòðèì
ïðîñòðàíñòâî C([0 , 2π]) êàê ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé ïðè
ïîñòðîåíèè èíòåãðàëà Äàíèýëÿ, à ôóíêöèîíàë I0 (φ | ·) êàê ýëåìåíòàðíûé
èíòåãðàë.
Îïðåäåëåíèå 4.6.3. Ïóñòü I(φ | ·) -ðàñøèðåíèå ïî Äàíèýëþ ýëåìåíòàð-
íîãî èíòåãðàëà I0 (φ | ·), à µ(φ | dθ) -ìåðà íà îòðåçêå [0 , 2π], ïîðîæäåííàÿ
èíòåãðàëîì I(φ | ·).
   Ïðîñòðàíñòâî èíòåãðèðóåìûõ ïî ìåðå µ(φ | dθ) ôóíêöèé ñîäåðæèò
àëãåáðó Bor([0 , 2π]) âñåõ îãðàíè÷åííûõ èçìåðèìûõ ïî Áîðåëþ ôóíêöèé
íà îòðåçêå [0 , 2π]. Ôèêñèðóåì äåéñòâèòåëüíóþ ôóíêöèþ f ∈ Bor([0 , 2π])
è ïóñòü B(φ , ψ | f ) -áèëèíåéíàÿ ôîðìà, êîòîðàÿ â ñèëó ïîëÿðèçàöèîí-
íîãî òîæäåñòâà ñîîòâåòñòâóåò êâàäðàòè÷íîé ôîðìå φ 7→ I(φ | f ).
   Íèæå ìû ïîñòðîèì îòîáðàæåíèå
                     OpU : Bor([0 , 2π]) 7→ L(H 7→ H),               (4.169)
êîòîðîå ñëóæèò ïðîäîëæåíèåì îòîáðàæåíèÿ (4.160).

                                      330

Страницы