Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 344 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∀(θ
1
, θ
2
∈ [0 , 2π]) : E
un
(θ , U)E
un
(θ , U) = E
un
(min(θ
1
, θ
2
) , U).
(θ
1
, θ
2
]
\
(θ
3
, θ
4
] = ∅
(E
un
(θ
2
, U) − E
un
(θ
1
, U)) · (E
un
(θ
4
, U) − E
un
(θ
3
, U)) = 0.
f(exp(iθ)) ∈ C([0 , 2π])
∀(φ ∈ H) : < φ , f(U)φ >=
Z
2π
0
f(exp(iθ))d
θ
< φ , E
un
(θ , U)φ >,
µ(φ | dθ)
H Dom(A)
H
Cl(Dom(A)) = H,
A : Dom(A) 7→ H
Dom(A)
H
H = L
2
(R
1
, dx) , P(x)
∀(f ∈ C
0
(R
1
) ⊂ H) : Af (x) = P(x)f(x).
y ∈ Dom(A
∗
)
H Dom(A)
Dom(A) 3 x 7→< y , Ax >
3. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

 ∀(θ1 , θ2 ∈ [0 , 2π]) : Eun (θ , U )Eun (θ , U ) = Eun (min(θ1 , θ2 ) , U ). (4.175)

4. Åñëè                                      \
                                (θ1 , θ2 ]    (θ3 , θ4 ] = ∅
òî
          (Eun (θ2 , U ) − Eun (θ1 , U )) · (Eun (θ4 , U ) − Eun (θ3 , U )) = 0.
5. Åñëè   f (exp(iθ)) ∈ C([0 , 2π]),    òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                                        Z        2π
     ∀(φ ∈ H) : < φ , f (U )φ >=                      f (exp(iθ))dθ < φ , Eun (θ , U )φ >,
                                             0
                                                                                       (4.176)
ãäå èíòåãðàë ïîíèìàåòñÿ êàê èíòåãðàë Ëåáåãà-Ñòèëüòüåñà ïî ìåðå
µ(φ | dθ).
   Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4.6.2 äîñëîâíî ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî òåî-
ðåìû 4.5.2.


4.7       Ãèëüáåðòîâî ñîïðÿæåíèå íåîãðàíè÷åííûõ

          îïåðàòîðîâ.

Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî òàêèå ëèíåéíûå îïåðàòîðû, êîòîðûå
èìåþò ïëîòíóþ â H îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ. Ïóñòü Dom(A) ïëîòíîå â ãèëü-
áåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå:

                                 Cl(Dom(A)) = H,                                       (4.177)

è ïóñòü
                                  A : Dom(A) 7→ H
-ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå ìíîãîîáðàçèÿ Dom(A) â ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàí-
ñòâî H .
   Òèïè÷íûé ïðèìåð: ïóñòü H = L2 (R1 , dx) , P(x) -ïîëèíîì ñ äåéñòâè-
òåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè è

                     ∀(f ∈ C0 (R1 ) ⊂ H) : Af (x) = P(x)f (x).

Îïðåäåëåíèå 4.7.1. Ýëåìåíò y ∈ Dom(A ), åñëè çàäàííûé íà ïëîòíîì
                                                             ∗

â H ëèíåéíîì ìíîãîîáðàçèè Dom(A) ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë

                             Dom(A) 3 x 7→< y , Ax >                                   (4.178)

                                                 332

Страницы