Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 345 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

H
A
∗
y = z,
z
∀(x ∈ Dom(A)) : < z , x >=< A
∗
y , x >=< y , Ax > .
A
∗
A
A
H =
L
2
(R
1
, dx) , {e
n
(x)} L
2
(R
1
, dx),
Dom(A) = C
∞
0
(R
1
) , ∀(f ∈ Dom(A)) : Af(x) =
X
1≤n<∞
f(n)e
n
(x).
C
∞
0
(R
1
) 3 f 7→< g , Af >=
X
1≤n<∞
f(n) < g , e
n
>
L
2
(R
1
, dx)
∀n : < g , e
n
>= 0.
Dom(A
∗
) = 0
L
2
(R
1
, dx) ⊕ L
2
(R
1
, dx)
H ⊕H
V : H ⊕ H 7→ H ⊕H , V (f ⊕ g) = (−g) ⊕ f.
V
V
2
= −id.
ïðîäîëæàåòñÿ ïî íåïðåðûâíîñòè íà âñå ïðîñòðàíñòâî H , è â ýòîì ñëó÷àå
ìû ïîëàãàåì
                             A∗ y = z,
ãäå z -òîò ýëåìåíò, êîòîðûé ïî òåîðåìå Ðèññà (ñì. 280) çàäàåò ôóíêöèî-
íàë (4.178):

      ∀(x ∈ Dom(A)) : < z , x >=< A∗ y , x >=< y , Ax > .            (4.179)

    Îïèñàííûé ýòèì îïðåäåëåíèåì îïåðàòîð A∗ íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì,
ãèëüáåðòîâî ñîïðÿæåííûì îïåðàòîðó A.
    Åñëè îïåðàòîð A îãðàíè÷åí, òî ýòî îïðåäåëåíèå ñîâïàäàåò ñ ðàíåå
äàííûì îïðåäåëåíèåì ãèëüáåðòîâî ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà.
    Åñëè îïåðàòîð îãðàíè÷åí, òî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ñîïðÿæåííîãî îïå-
ðàòîðà åñòü âñå ïðîñòðàíñòâî. Åñëè îïåðàòîð íåîãðàíè÷åí, òî ìîæåò
ñëó÷èòüñÿ òàê, ÷òî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà ñî-
ñòîèò ëèøü èç íóëÿ. Ïðèâåäåì ñîîòâåòñòâóþùèé ïðèìåð. Ïóñòü H =
L2 (R1 , dx) , {en (x)} -ïîëíàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà â L2 (R1 , dx),
                                                     X
     Dom(A) = C0∞ (R1 ) , ∀(f ∈ Dom(A)) : Af (x) =        f (n)en (x).
                                                         1≤n<∞
                                                                     (4.180)
Ôóíêöèîíàë
                                           X
            C0∞ (R1 ) 3 f 7→< g , Af >=           f (n) < g , en >
                                          1≤n<∞

ïðîäîëæàåòñÿ äî ëèíåéíîãî íåïðåðûâíîãî ôóíêöèîíàëà íà L2 (R1 , dx)
òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè

                           ∀n : < g , en >= 0.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Dom(A∗ ) = 0.
    Îòìòèì, ÷òî îïåðàòîð (4.180) åñòü ïðèìåð îïåðàòîðà, íå èìåþùå-
ãî çàìûêàíèÿ: çàìûêàíèå ãðàôèêà îïåðàòîðà (4.180) åñòü ïðîñòðàíñòâî
L2 (R1 , dx) ⊕ L2 (R1 , dx), êîòîðîå íå åñòü ãðàôèê îïåðàòîðà.
    Ìîæíî äàòü ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå ãèëüáåðòîâî ñîïðÿæåííîãî
îïåðàòîðà.
    Â ïðÿìîé ñóììå ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ H ⊕ H îïðåäåëèì îïåðà-
òîð
                V : H ⊕ H 7→ H ⊕ H , V (f ⊕ g) = (−g) ⊕ f.     (4.181)
Îïåðàòîð V óíèòàðåí è óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó

                               V 2 = −id.

                                  333

Страницы