Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 343 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f ∈ Bor([0 , 2π]) Op
U
(f)
B(φ , ψ | f)
∀(φ ∈ H , ψ ∈ H) : < φ , Op
U
(f)ψ >= B(φ , ψ | f).
f ∈ Bor([0 , 2π])
Op
U
Bor([0 , 2π])
L(H 7→ H)
Op
U
(f
∗
) = Op
U
(f)
∗
,
f
∗
f Op(f)
∗
Op(f)
Op
U
E
un
(θ , U)
[0 , θ] Op
U
E
un
(θ , U) = Op
U
(I([0 , θ] | ·)),
∀φ ∈ H : < φ , E
un
(θ , U)φ >=
Z
2π
0
I([0 , θ] | x)µ(φ | dx).
U ∈ L(H 7→ H)
E
un
(θ , U)
θ ∈ [0 , 2π] E
un
(θ , U)
∀(θ ∈ [0 , 2π]) : E
un
(θ , U)
2
= E
un
(θ , U).
θ 7→ E
un
(θ , U)
(θ
2
≥ θ
1
) ⇒ (E(U , θ
2
) ≥ E(U , θ))
θ
∀(φ ∈ H , θ ∈ [0 2π)) :
< φ , E
un
(θ + 0 , U)φ >=< φ , E
un
(θ , U)φ > , E
un
(2π , U) = id.
Îïðåäåëåíèå 4.6.4. Åñëè f    ∈ Bor([0 , 2π]), òî îïåðàòîð OpU (f ) -ýòî
îïåðàòîð, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ áèëèíåéíîé ôîðìîé B(φ , ψ | f ):
                                                           def
          ∀(φ ∈ H , ψ ∈ H) : < φ , OpU (f )ψ > = B(φ , ψ | f ).                        (4.170)

   Íà êîìïëåêñíîçíà÷íûå ôóíêöèè f ∈ Bor([0 , 2π]) îïðåäåëåíèå 4.6.4
ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïî ëèíåéíîñòè. Î÷åâèäíà
Òåîðåìà 4.6.1. 1. Îòîáðàæåíèå Op               U åñòü ãîìîìîðôèçì àëãåáðû              Bor([0 , 2π])
â àëãåáðó   L(H 7→ H),     êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:

                                OpU (f ∗ ) = OpU (f )∗ ,                               (4.171)

ãäåf ∗ -ôóíêöèÿ, êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííàÿ ôóíêöèè f , Op(f )∗ -îïåðàòîð,
ãèëüáåðòîâî ñîïðÿæåííûé îïåðàòîðó Op(f ).
   2. Îòîáðàæåíèå OpU ïåðåâîäèò íåîòðèöàòåëüíûå ôóíêöèè â íåîò-
ðèöàòåëüíûå îïåðàòîðû.

Îïðåäåëåíèå 4.6.5. Ïóñòü E         U ) -îáðàç õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíê-
                                     un (θ ,
öèè îòðåçêà [0 , θ] ïðè îòîáðàæåíèè OpU :

                           Eun (θ , U ) = OpU (I([0 , θ] | ·)),                        (4.172)

÷òî ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâó
                                               Z   2π
       ∀φ ∈ H : < φ , Eun (θ , U )φ >=                  I([0 , θ] | x)µ(φ | dx).       (4.173)
                                               0

      Ñïðàâåäëèâà
Òåîðåìà 4.6.2. Êàæäîìó óíèòàðíîìó îïåðàòîðó U ∈ L(H 7→ H) ñî-
ãëàñíî îïðåäåëåíèþ 4.6.4 ñîîòâåòñòâóåò ôóíêöèÿ                        Eun (θ , U ),   êîòîðàÿ
îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè.
      1. Äëÿ ëþáîãî   θ ∈ [0 , 2π] îïåðàòîð Eun (θ , U ) -ñàìîñîïðÿæåííûé ïðî-
åêòîð:
                    ∀(θ ∈ [0 , 2π]) : Eun (θ , U )2 = Eun (θ , U ).                    (4.174)
2. Îïåðàòîðíàÿ ôóíêöèÿ          θ 7→ Eun (θ , U )       ìîíîòîííî íåóáûâàåò:

                        (θ2 ≥ θ1 ) ⇒ (E(U , θ2 ) ≥ E(U , θ))

è â êàæäîé òî÷êå       θ   íåïðåðûâíà ñïðàâà â òîì ñìûñëå, ÷òî

       ∀(φ ∈ H , θ ∈ [0 2π)) :
       < φ , Eun (θ + 0 , U )φ >=< φ , Eun (θ , U )φ > , Eun (2π , U ) = id.

                                           331

Страницы