Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 346 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Gr(A
∗
) = (V Gr(A))
⊥
.
Gr(A) = {x ⊕ Ax | x ∈ Dom(A)},
V (Gr(A)) = {(−Ax) ⊕x | x ∈ Dom(A)},
(V (Gr(A)))
⊥
= {y ⊕z | (y , Ax) = (z , x) , x ∈ Dom(A)},
(V (Gr(A)))
⊥
\
(0 ⊕ H) = {0 ⊕ z | (z , x) = 0 , x ∈ Dom(A)}
Dom(A) H
(V (Gr(A)))
⊥
\
(0 ⊕ H) = 0,
(V (Gr(A)))
⊥
A
∗
A
∗
A
H = V (Gr(A)) ⊕ Gr(A
∗
).
A
∗
A Dom(A) =
H A = A
∗
A A ∈ L(H 7→ H)
A
(Cl(Gr(A)))
\
(0 ⊕ H) = 0.
A
(Cl(A))
∗
= A
∗
.
Òåîðåìà 4.7.1. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                          Gr(A∗ ) = (V Gr(A))⊥ .                         (4.182)

    Äîêàçàòåëüñòâî. Ìû èìååì:

    Gr(A) = {x ⊕ Ax | x ∈ Dom(A)},
    V (Gr(A)) = {(−Ax) ⊕ x | x ∈ Dom(A)},
    (V (Gr(A)))⊥ = {y ⊕ z | (y , Ax) = (z , x) , x ∈ Dom(A)},            (4.183)
                 \
    (V (Gr(A)))⊥ (0 ⊕ H) = {0 ⊕ z | (z , x) = 0 , x ∈ Dom(A)}            (4.184)

Òàê êàê ìíîæåñòâî Dom(A) ïëîòíî â H , òî èç (4.184) ñëåäóåò, ÷òî
                               \
                   (V (Gr(A)))⊥ (0 ⊕ H) = 0,

ïîýòîìó ìíîæåñòâî (V (Gr(A)))⊥ åñòü ãðàôèê îïåðàòîðà, èç (4.183) ñëå-
äóåò, ÷òî ýòî ãðàôèê îïåðàòîðà A∗ .
   Ðàâåíñòâî (4.182) ìîæåò ñëóæèòü îïðåäåëåíèåì ãèëüáåðòîâî ñîïðÿ-
æåííîãî îïåðàòîðà. Òàê êàê îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå ê ëþáîìó ìíî-
æåñòâó çàìêíóòî, òî èç òåîðåìû 4.7.1 âûòåêàåò

Ñëåäñòâèå 4.7.1. Ãèëüáåðòîâî ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð A                ∗
                                                                       çàìêíóò.
Åñëè îïåðàòîð   A   çàìêíóò, òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

                         H = V (Gr(A)) ⊕ Gr(A∗ ).                        (4.185)

   Èç òåîðåìû î çàìêíóòîì ãðàôèêå è çàìêíóòîñòè îïåðàòîðà A∗ ñëå-
äóåò òåîðåìà Õåëëèíãåðà-Òåïëèöà.

Òåîðåìà 4.7.2. Åñëè îïåðàòîð A îïðåäåëåí âî âñåì ïðîñòðàíñòâå: Dom(A) =
H   è ñàìîñîðÿæåí:   A = A∗ ,   òî îïåðàòîð   A   îãðàíè÷åí:   A ∈ L(H 7→ H).

   Íàïîìíèì, ÷òî çàìêíóòûé îïåðàòîð -ýòî òàêîé îïåðàòîð, ãðàôèê êî-
òîðîãî çàìêíóò. Èç çàìêíóòîñòè îïåðàòîðà íå ñëåäóåò íè çàìêíóòîñòü
åãî îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, íè çàìêíóòîñòü åãî îáëàñòè çíà÷åíèé. Íàïîì-
íèì, ÷òî çàìûêàíèå îïåðàòîðà A ñóùåñòâóåò òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè
                                 \
                     (Cl(Gr(A))) (0 ⊕ H) = 0.

Ëåììà 4.7.1. Åñëè çàìûêàíèå îïåðàòîðà A ñóùåñòâóåò, òî
                                (Cl(A))∗ = A∗ .

                                     334

Страницы