Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 348 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
A = A
∗
.
U ∈ L(H
1
7→ H
2
)
∀(x ∈ H
1
, y ∈ H
1
) : < Ux , Uy >
2
=< x , y >
1
.
A
2
: H
2
⊃ Dom(A
2
) 3 x 7→ A
2
x ∈ H
2
A
1
A
1
: H
1
⊃ Dom(A
1
) 3 x 7→ A
1
x ∈ H
1
Dom(A
2
) = U(Dom(A
1
)) , ∀(x ∈ Dom(A
2
)) : A
2
x = UA
1
U
−1
x,
U ∈ L(H
1
7→ H
2
)
A
1
A
2
A
1
A
2
∀(x ∈ Dom(A
2
) , y ∈ Dom(A
2
)) : < x , A
2
y >
2
=< x , UA
1
U
−1
y >
2
=
< U
−1
x , A
1
U
−1
y >
1
=< A
1
U
−1
x , U
−1
y >
1
=< A
2
x , y >
2
.
A
2
A
1
y 7→< x , A
2
y >
U
−1
x ∈ Dom(A
1
),
x ∈ U(Dom(A
1
)) = Dom(A
2
),
A
2
Îïðåäåëåíèå 4.7.4. Îïåðàòîð A ñàìîñîïðÿæåí, åñëè
                                       A = A∗ .                            (4.188)

   Íàïîìíèì, ÷òî îïåðàòîð U ∈ L(H1 7→ H2 ) íàçûâàåòñÿ óíèòàðíûì,
åñëè îí îáðàòèì è

                ∀(x ∈ H1 , y ∈ H1 ) : < U x , U y >2 =< x , y >1 .

Îïðåäåëåíèå 4.7.5. Îïåðàòîð
                     A2 : H2 ⊃ Dom(A2 ) 3 x 7→ A2 x ∈ H2

óíèòàðíî ýêâèâàëåíòåí îïåðàòîðó A1 :

                     A1 : H1 ⊃ Dom(A1 ) 3 x 7→ A1 x ∈ H1

åñëè

        Dom(A2 ) = U (Dom(A1 )) , ∀(x ∈ Dom(A2 )) : A2 x = U A1 U −1 x,

ãäå U ∈ L(H1 7→ H2 ) -óíèòàðíûé îïåðàòîð.

Ëåììà 4.7.3. Åñëè îïåðàòîð A           1 ñàìîñîïðÿæåí è îïåðàòîð     A2   óíèòàð-
íî ýêâèâàëåíòåí îïåðàòîðó       A1 ,   òî îïåðàòîð   A2   ñàìîñîïðÿæåí.

       Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì:

   ∀(x ∈ Dom(A2 ) , y ∈ Dom(A2 )) : < x , A2 y >2 =< x , U A1 U −1 y >2 =
    < U −1 x , A1 U −1 y >1 =< A1 U −1 x , U −1 y >1 =< A2 x , y >2 .

Ýòî ðàâåíñòâî äîêàçûâàåò, ÷òî îïåðàòîð A2 ñèììåòðè÷åí íà ñâîåé îáëà-
ñòè îïðåäåëåíèÿ. Èç ýòîé æå âûêëàäêè è ñàìîñîïðÿæåííîñòè îïåðàòîðà
A1 ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèîíàë

                                y 7→< x , A2 y >

ïðîäîëæàåòñÿ äî íåïðåðûâíîãî ôóíêöèîíàëà â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå,
åñëè
                        U −1 x ∈ Dom(A1 ),
ò.å.
                        x ∈ U (Dom(A1 )) = Dom(A2 ),
à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî îïåðàòîð A2 ñàìîñîïðÿæåí.

                                         336

Страницы