Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 349 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A ⊂ B,
B
∗
⊂ A
∗
.
x ∈ Dom(B
∗
) , y ∈ Dom(A).
< x , Ay >=< x , By >=< B
∗
x , y > .
x ∈ Dom(A
∗
) , B
∗
x = A
∗
x.
A = A
∗
, A ⊂ B , B ⊂ B
∗
,
A = B.
A ⊂ B , B
∗
⊂ A
∗
= A ⊂ B.
B
∗
= B = A.
A
A
−1
Ker(A) = 0
A
−1
Gr(A
−1
) = {Ax ⊕ x | x ∈ Dom(A)}.
Ker(A) = 0 , Cl(Im(A)) = H,
(A
−1
)
∗
= (A
∗
)
−1
.
Ëåììà 4.7.4. Åñëè
                                   A ⊂ B,
òî
                                  B ∗ ⊂ A∗ .
     Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü
                      x ∈ Dom(B ∗ ) , y ∈ Dom(A).
Òîãäà
                  < x , Ay >=< x , By >=< B ∗ x , y > .
Ñëåäîâàòåëüíî,
                       x ∈ Dom(A∗ ) , B ∗ x = A∗ x.
Ëåììà äîêàçàíà.
Ëåììà 4.7.5. Åñëè
                       A = A∗ , A ⊂ B , B ⊂ B ∗ ,
òî
                                   A = B.
     Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì:
                   A ⊂ B , ïîýòîìó B ∗ ⊂ A∗ = A ⊂ B.
Ñëåäîâàòåëüíî,
                                B ∗ = B = A.
Ëåììà äîêàçàíà.
   Èç ýòîé ëåììû ñëåäóåò, ÷òî åñëè îïåðàòîð A ñàìîñîïðÿæåí, òî ëþáîå
åãî ñèììåòðè÷íîå ðàñøèðåíèå ñîâïàäàåò ñ íèì, ò.å. ñðåäè ñèììåòðè÷íûõ
îïåðàòîðîâ ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð åñòü ñèììåòðè÷íûé îïåðàòîð ñ
ìàêñèìàëüíîé îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ.
   Íàïîìíèì, ÷òî ëèíåéíûé îïåðàòîð A−1 îïðåäåëåí â òîì è òîëüêî â
òîì ñëó÷àå, åñëè Ker(A) = 0, è â ýòîì ñëó÷àå ïî îïðåäåëåíèþ îïåðàòîð
A−1 åñòü îïåðàòîð ñ ãðàôèêîì
                  Gr(A−1 ) = {Ax ⊕ x | x ∈ Dom(A)}.
Ëåììà 4.7.6. Åñëè
                     Ker(A) = 0 , Cl(Im(A)) = H,
òî
                              (A−1 )∗ = (A∗ )−1 .

                                     337

Страницы