Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 351 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

a. (∃A
−1
) ⇒ (Ker(A) = 0),
b. ((A = A
∗
) ∧ (Ker(A) = 0)) ⇒ (Cl(Im(A)) = H),
c. ((Ker(A) = 0) ∧ (Cl(Im(A)) = H)) ⇒ ((A
−1
)
∗
= (A
∗
)
−1
),
d. ((A
−1
)
∗
= (A
∗
)
−1
) ∧ (A = A
∗
)) ⇒ ((A
−1
)
∗
= (A
−1
)).
a
b
c
d
A ⊂ A
∗
, Cl(Im(A)) = H,
Ker(A) = 0.
y ∈ Ker(A).
∀(x ∈ Dom(A)) : < x , Ay >=< Ax , y >= 0.
y ⊥ Im(A).
y = 0.
A ⊂ A
∗
, Im(A) = H,
A = A
∗
, A
−1
∈ L(H 7→ H).
     Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì:

       a.   (∃A−1 ) ⇒ (Ker(A) = 0),
       b.   ((A = A∗ ) ∧ (Ker(A) = 0)) ⇒ (Cl(Im(A)) = H),
       c.   ((Ker(A) = 0) ∧ (Cl(Im(A)) = H)) ⇒ ((A−1 )∗ = (A∗ )−1 ),
       d.   ((A−1 )∗ = (A∗ )−1 ) ∧ (A = A∗ )) ⇒ ((A−1 )∗ = (A−1 )).

Çäåñü:
   a -íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ îáðàòíîãî îïåðàòîðà,
   b -óòâåðæäåíèå ëåììû 4.7.7,
   c -óòâåðæäåíèå ëåììû 4.7.6,
   d -î÷åâèäíî.
   Ëåììà äîêàçàíà.

Ëåììà 4.7.9. Åñëè
                         A ⊂ A∗ , Cl(Im(A)) = H,

òî
                                Ker(A) = 0.

     Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

                                y ∈ Ker(A).

Òîãäà èç ïåðâîãî óñëîâèÿ ëåììû ñëåäóåò, ÷òî

               ∀(x ∈ Dom(A)) : < x , Ay >=< Ax , y >= 0.

Ïîýòîìó
                                y ⊥ Im(A).
Èç âòîðîãî óñëîâèÿ ëåììû ñëåäóåò, ÷òî

                                   y = 0.

Ëåììà äîêàçàíà.

Ëåììà 4.7.10. Åñëè
                           A ⊂ A∗ , Im(A) = H,

òî
                        A = A∗ , A−1 ∈ L(H 7→ H).

                                    339

Страницы