Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 353 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

y ∈ Ker(A
∗
+ iid) , y 6= 0.
∀(x ∈ Dom(A)) : < (A
∗
+ iid)y , x >=< y , (A − iid)x >= 0,
y ⊥ Cl(Im(A − iid)).
Cl(Im(A − iid)) 6= H.
A
Im(A ±iid) A
Im(A ± iid) A
+
T : Gr(A) 7→ Im(A + iid) , T (x ⊕ Ax) = (A + iid)x.
Im(T ) = Im(A + iid).
Ker(T ) = 0 T
−1
T
Gr(A) , Im(A + iid)
−
A
Cl(Dom(A)) = H , A ⊂ A
∗
.
A
A = A
∗
,
A
Ker(A
∗
± iid) = 0.
Ïóñòü
                             y ∈ Ker(A∗ + iid) , y 6= 0.
Òîãäà

         ∀(x ∈ Dom(A)) : < (A∗ + iid)y , x >=< y , (A − iid)x >= 0,

è
                               y ⊥ Cl(Im(A − iid)).
Ñëåäîâàòåëüíî,
                               Cl(Im(A − iid)) 6= H.
Ëåììà äîêàçàíà.
Ëåììà 4.7.13. Åñëè îïåðàòîð A ñèììåòðè÷åí è çàìêíóò, òî ìíîæå-
ñòâà    Im(A ± iid)   çàìêíóòû. Åñëè îïåðàòîð       A   ñèììåòðè÷åí è õîòÿ áû
îäíî èç ìíîæåñòâ       Im(A ± iid)   çàìêíóòî, òî îïåðàòîð      A   çàìêíóò.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåäåì äîêàçàòåëüñòâî äëÿ çíàêà +. Îïðåäåëèì
îïåðàòîð

             T : Gr(A) 7→ Im(A + iid) , T (x ⊕ Ax) = (A + iid)x.

ßñíî, ÷òî
                              Im(T ) = Im(A + iid).
Èç (4.189) ñëåäóåò, ÷òî Ker(T ) = 0, ïîýòîìó îïåðàòîð T −1 ñóùåñòâó-
åò. Èç (4.189) ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð T èçîìåòðè÷åí, ïîýòîìó ìíîæåñòâà
Gr(A) , Im(A + iid) çàìêíóòû èëè íåò îäíîâðåìåííî. Ðàññóæäåíèÿ äëÿ
çíàêà − àíàëîãè÷íû. Ëåììà äîêàçàíà.
    Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà èíîãäà íàçûâàåòñÿ îñíîâíûì êðèòåðèåì ñàìîñî-
ïðÿæåííîñòè.
Òåîðåìà 4.7.3. Ïóñòü îïåðàòîð A èìååò ïëîòíóþ îáëàñòü îïðåäåëå-
íèÿ è ñèììåòðè÷åí:

                          Cl(Dom(A)) = H , A ⊂ A∗ .

Òîãäà
    1. Åñëè îïåðàòîð     A   ñàìîñîïðÿæåí:

                                      A = A∗ ,

òî îïåðàòîð    A   çàìêíóò è âûïîëíåíû óñëîâèÿ

                                Ker(A∗ ± iid) = 0.                       (4.190)

                                        341

Страницы