Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 354 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
Im(A ± iid) = H
R(±i , A)
Im(A ± iid) = H A
1 ⇒ 2
2 ⇒ 3
Cl(Im(A ± iid)) = H.
A Gr(A)
Im(A ± iid)
Cl(Im(A ± iid)) = Im(A ± iid) = H.
Ker(A ± iid) = 0,
{(A ± iid)x ⊕ x | x ∈ Dom(A)}
3 ⇒ 1 +
x ∈ Dom(A
∗
).
∃(y ∈ Dom(A) ⊂ DomA
∗
) : (A + iid)y = (A
∗
+ iid)x
(A
∗
+ iid)(x − y) = 0.
Im(A −iid) = H Ker(A
∗
+
iid) = 0
(x − y = 0) ⇒ (x ∈ Dom(A)) ⇒ (Dom(A
∗
) = Dom(A)).
2. Åñëè îïåðàòîð   A   çàìêíóò è ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà    (4.190), òî ñïðà-
âåäëèâû ðàâåíñòâà
                              Im(A ± iid) = H                       (4.191)
è ðåçîëüâåíòû   R(±i , A) ñóùåñòâóþò.
   3. Åñëè   Im(A ± iid) = H , òî îïåðàòîð A     ñàìîñîïðÿæåí.

   Äîêàçàòåëüñòâî.
   1 ⇒ 2. Ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð çàìêíóò, à ðàâåíñòâî (4.190) åñòü
ñëåäñòâèå ðàâåíñòâà (4.189).
   2 ⇒ 3. Èç ëåììû 4.7.12 ñëåäóåò, ÷òî

                           Cl(Im(A ± iid)) = H.

Çàìêíóòîñòü îïåðàòîðà A îçíà÷àåò çàìêíóòîñòü ìíîæåñòâà Gr(A), ïî-
ýòîìó ìíîæåñòâî Im(A ± iid) çàìêíóòî íà îñíîâå ëåììû 4.7.13 è

                    Cl(Im(A ± iid)) = Im(A ± iid) = H.

Òàê êàê
                             Ker(A ± iid) = 0,
òî ìíîæåñòâî
                       {(A ± iid)x ⊕ x | x ∈ Dom(A)}
åñòü ãðàôèê îïåðàòîðà, ÷òî ýêâèâàëåíòíî ñóùåñòâîâàíèþ ðåçîëüâåíò.
   3 ⇒ 1. Ïðîâåäåì ðàññóæäåíèÿ äëÿ çíàêà +. Ïóñòü

                               x ∈ Dom(A∗ ).

Òîãäà èç óñëîâèÿ (4.191) ñëåäóåò, ÷òî

             ∃(y ∈ Dom(A) ⊂ DomA∗ ) : (A + iid)y = (A∗ + iid)x

Ïîýòîìó
                            (A∗ + iid)(x − y) = 0.
Ñîãëàñíî ëåììå 4.7.12 èç óñëîâèÿ Im(A − iid) = H ñëåäóåò,÷òî Ker(A∗ +
iid) = 0.
    Ñëåäîâàòåëüíî,

          (x − y = 0) ⇒ (x ∈ Dom(A)) ⇒ (Dom(A∗ ) = Dom(A)).

Òåîðåìà äîêàçàíà.

                                     342

Страницы