Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 356 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∀(x ∈ Dom(A)) : kBxk
2
≤ (a
2
+
−2
)kxk
2
+ (b
2
+
2
)kAxk
2
=
(b
2
+
2
)k(−i((a
2
+
−2
)/(b
2
+
2
) − A)xk
2
.
γ
2
:= b
2
+
2
< 1.
α = (a
2
+
−2
)/(b
2
+
2
).
A+B
Im(A + V + iαid) = H,
R(−iα , A + B) ∈ L(H 7→ H).
x ∈ Dom(A) , (A + B + iαid)x = y.
A R(−iα , A)
R(−iα , A) ∈ L(H 7→ H) , Im(R(−iα , A)) ⊂ Dom(A).
x → (A + iαid)x,
(id − BR(−iα , A))(A + iαid)x = y.
x 7→ −R(−iα , A)x
∀x : kBR(−iα , A)xk ≤ γkxk.
kBR(−iα , A)k ≤ γ < 1,
(id − BR(−iα , A))
−1
∈ L(H 7→ H),
Im(id − BR(−iα , A))
−1
= H.
òî èç (4.192) ñëåäóåò íåðàâåíñòâî

        ∀(x ∈ Dom(A)) : kBxk2 ≤ (a2 + −2 )kxk2 + (b2 + 2 )kAxk2 =
        (b2 + 2 )k(−i((a2 + −2 )/(b2 + 2 ) − A)xk2 .            (4.193)

Âûáåðåì  òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî

                             γ 2 := b2 + 2 < 1.

Ïîëîæèì
                          α = (a2 + −2 )/(b2 + 2 ).
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñàìîñîïðÿæåííîñòè îïåðàòîðà A+B íàì äîñòàòî÷íî
äîêàçàòü, ÷òî

                       Im(A + V + iαid) = H,
                       R(−iα , A + B) ∈ L(H 7→ H).

Ïóñòü
                    x ∈ Dom(A) , (A + B + iαid)x = y.              (4.194)
Òàê êàê îïåðàòîð A ñàìîñîïðÿæåí, îïåðàòîð R(−iα , A) ñóùåñòâóåò è

           R(−iα , A) ∈ L(H 7→ H) , Im(R(−iα , A)) ⊂ Dom(A).

Çàìåíèâ â (4.194)
                              x → (A + iαid)x,
ìû ïîëó÷èì:
                    (id − BR(−iα , A))(A + iαid)x = y.             (4.195)
Ñäåëàâ çàìåíó
                            x 7→ −R(−iα , A)x                      (4.196)
â (4.193), ìû ïîëó÷èì:

                       ∀x : kBR(−iα , A)xk ≤ γkxk.

Ñëåäîâàòåëüíî,
                          kBR(−iα , A)k ≤ γ < 1,                   (4.197)
è

                    (id − BR(−iα , A))−1 ∈ L(H 7→ H),
                    Im(id − BR(−iα , A))−1 = H.

                                     344

Страницы