Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 358 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

b
f
n
(ξ) →
b
f
0
(ξ) , |ξ|
2
b
f
n
(ξ) → bg(ξ) , n → ∞.
L
2
(R
d
, dξ)
bg(ξ) = |ξ|
2
b
f
0
(ξ) ,
Z
|ξ|
4
||
b
f
0
(ξ)|
2
dξ < ∞.
−∆
H
2
(R
d
)
Dom(Cl(−∆)) = H
2
(R
2
),
−∆
−∆f(x) = (2π)
−d
lim
R→∞
Z
|ξ|<R
exp(i(x , ξ))|ξ|
2
b
f(ξ)dξ , f ∈ H
2
(R
2
).
|ξ|
2
L
2
(R
d
, dξ)
H = L
2
(R
d
, dx) H
2
(R
d
) ⊂ L
2
(R
d
, dx)
B : Bf (x) = l · Df(x) + q(x)f (x),
l ∈ R
d
q(x)
B
−∆
∀x : |q(x)| ≤ q
∞
.
kBfk ≤ |l|k|Df|k + q
∞
kfk.
k|Df|k
2
≤ (2π)
−d
Z
|ξ|
2
|
b
f(ξ)|
2
dξ ≤
(2π)
−d
Z
(
−2
+
2
|ξ|
4
)|
b
f(ξ)|
2
dξ =
−2
kfk
2
+
2
k∆fk
2
,
Ïåðåõîäÿ ê ïðåîáðàçîâàíèÿì Ôóðüå, íàõîäèì:
                  fbn (ξ) → fb0 (ξ) , |ξ|2 fbn (ξ) → gb(ξ) , n → ∞.
(Ñõîäèìîñòü â ìåòðèêå L2 (Rd , dξ)). Ñëåäîâàòåëüíî,
                                    Z
                gb(ξ) = |ξ| f0 (ξ) , |ξ|4 ||fb0 (ξ)|2 dξ < ∞.
                           2b


Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ çàìûêàíèÿ îïåðàòîðà −∆
ñîñòîèò èç ôóíêöèé, ïðèíàäëåæàùèõ ïðîñòðàíñòâó Ñîáîëåâà H 2 (Rd ):
                          Dom(Cl(−∆)) = H 2 (R2 ),
è íà ýòîé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ çàìûêàíèå îïåðàòîðà −∆ âû÷èñëÿåòñÿ
ïî ôîðìóëå
                        Z
          def   −d
  −∆f (x) = (2π) lim       exp(i(x , ξ))|ξ|2 fb(ξ)dξ , f ∈ H 2 (R2 ). (4.198)
                      R→∞
                         |ξ|

Страницы