Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 360 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

H < , >
kfk
2
=< f , f > .
H
+
⊂ H H
H
+
H H
H
+
⊂ H , Cl(H
+
) = H.
H
H
+
[ , ]
+
∀(f ∈ H
+
) : kfk
2
+
= [f , f]
+
.
∀(f ∈ H
+
) : kfk
+
≥ kfk.
H = L
2
(R
1
, dx) , H
+
= {f |
Z
|f(x)|
2
(1 + x
2
)dx < ∞},
∀(f ∈ H
+
, g ∈ H
+
) : [f , g]
+
=
Z
f
∗
(x)g(x)(1 + x
2
)dx.
g ∈ H H
+
H
+
3 f 7→< g , f > .
H
+
H
+
| < g , f > | ≤ kgk · kfk ≤ kgk · kfk
+
.
4.8     Îñíàùåíèå ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà è

        áèëèíåéíûå ôîðìû.

4.8.1   Îñíàùåíèå ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà.

Ïóñòü H ãèëüáåðòîâî ïðîñòàíñâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì < , > è
íîðìîé
                         kf k2 =< f , f > .
Ïóñòü H+ ⊂ H -ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå â H , êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò óñëî-
âèÿì:
   1. H+ ïëîòíî â H ïî ìåòðèêå H :

                          H+ ⊂ H , Cl(H+ ) = H.

(Çàìûêàíèå áåðåòñÿ ïî ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà H ).
     2. H+ åñòü ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì
[ , ]+ è íîðìîé
                       ∀(f ∈ H+ ) : kf k2+ = [f , f ]+ .
   3. Âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî

                         ∀(f ∈ H+ ) : kf k+ ≥ kf k.

Ïðèâåäåì ïðèìåð.
  Ïóñòü
                                         Z
               2    1
         H = L (R , dx) , H+ = {f |      |f (x)|2 (1 + x2 )dx < ∞},
                                          Z
         ∀(f ∈ H+ , g ∈ H+ ) : [f , g]+ = f ∗ (x)g(x)(1 + x2 )dx.

Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî â ýòîì ïðèìåðå âûïîëíåíû âñå ñäåëàííûå âûøå
ïðåäïîëîæåíèÿ.
   Äëÿ ëþáîãî g ∈ H íà ïðîñòðàíñòâå H+ îïðåäåëåí ëèíåéíûé ôóíêöè-
îíàë:
                         H+ 3 f 7→< g , f > .                (4.200)
Çàäàííûé íà ïðîñòðàíñòâå H+ ôîðìóëîé (4.200) ôóíêöèîíàë íåïðåðû-
âåí â ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà H+ , òàê êàê

                   | < g , f > | ≤ kgk · kf k ≤ kgk · kf k+ .

                                      348

Страницы