Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 362 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

J
−1
H
Im(J) ⊂ H
+
⊂ H.
J
−1
Im(J)
< , >
∀(f ∈ Im(J) , g ∈ Im(J)) : < J
−1
f , g >= [f , g]
+
=
[g , f]
∗
+
=< J
−1
g , f >
∗
=< f , J
−1
g > .
J
H
J
H
∀(f ∈ Im(J) , g ∈ Im(J)) : < J
−1
f , g >=< f , J
−1
g > .
f → Jf , g → Jg,
∀(f ∈ H , g ∈ H) : < f , Jg >=< Jf , g > .
J H
J
< g , Jg >= [Jg , Jg]
+
≥ 0.
J
J
−1
Dom(J
−1
) = Im(J) ⊂ H
H
Ñëåäñòâèå 4.8.1. Îïåðàòîð J         −1
                                         îïðåäåëåí íà ïëîòíîì â ïðîñòðàíñòâå
H   ìíîæåñòâå
                               Im(J) ⊂ H+ ⊂ H.

Ëåììà 4.8.3. Îïåðàòîð J        −1
                                    ñèììåòðè÷åí íà ïðîñòðàíñâå        Im(J)   îò-
íîñèòåëüíî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ             < , >.

    Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì:

              ∀(f ∈ Im(J) , g ∈ Im(J)) : < J −1 f , g >= [f , g]+ =
              [g , f ]∗+ =< J −1 g , f >∗ =< f , J −1 g > .

Ëåììà äîêàçàíà.

Ëåììà 4.8.4. Îïåðàòîð J ñàìîñîïðÿæåí è íåîòðèöàòåëåí íà ïðîñòðàí-
ñòâå   H.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì, ÷òî îïåðàòîð J ñèììåòðè÷åí íà ïðîñòðàí-
ñòâå H . Èìååì:

            ∀(f ∈ Im(J) , g ∈ Im(J)) : < J −1 f , g >=< f , J −1 g > .

Çàìåíÿÿ â ýòîì ðàâåíñòâå

                                f → Jf , g → Jg,

ìû ïîëó÷èì:

                  ∀(f ∈ H , g ∈ H) : < f , Jg >=< Jf , g > .

Îïåðàòîð J îïðåäåëåí íà âñåì ïðîñòðàíñòâå H , îãðàíè÷åí è ñèììåòðè-
÷åí. Ñëåäîâàòåëüíî, îí ñàìîñîïðÿæåí. Íåîòðèöàòåëüíîñòü îïåðàòîðà J
ñëåäóåò èç ðàâåíñòâà

                           < g , Jg >= [Jg , Jg]+ ≥ 0.

Èç ñàìîñîïðÿæåííîñòè îïåðàòîðà J â ñèëó ëåììû 4.7.8 âûòåêàåò

Ñëåäñòâèå 4.8.2. Îïåðàòîð J         −1
                                         ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ

                            Dom(J −1 ) = Im(J) ⊂ H

ñàìîñîïðÿæåí â ïðîñòðàíñòâå          H.

                                         350

Страницы