Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 363 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Im(J) = {f | f(x) = (1 + x
2
)
−1
g(x) , g(x) ∈ L
2
(R
1
, dx)} =
{f | (1 + x
2
)f(x) ∈ L
2
(R
1
, dx)}
J
−1
f(x) = (1 + x
2
)f(x).
H
∀(f ∈ H , g ∈ H) : [f , g]
−
= [Jf , Jg]
+
.
H
kfk
2
−
= [f , f]
−
.
∀(f ∈ H) : kfk
−
≤ kfk.
∀(f ∈ H) : kfk
2
−
= kJfk
2
+
≤ kfk
2
.
H
−
H k k
−
[ , ]
−
H H
−
k k
−
kfk
2
−
=
Z
(1 + x
2
)
−2
|f(x)|
2
(1 + x
2
)dx =
Z
(1 + x
2
)
−1
|f(x)|
2
dx.
J
H
−
e
J ∈ L(H
−
7→ H
+
) , ∀(f ∈ H) :
e
J(f) = J(f ).
e
J
Dom(
e
J) = H
−
, Im(
e
J) = H
+
, Ker(
e
J) = 0 , k
e
J | L(H
−
7→ H
+
)k = 1.
    Â ðàññìàòðèâàåìîì íàìè ïðèìåðå

        Im(J) = {f | f (x) = (1 + x2 )−1 g(x) , g(x) ∈ L2 (R1 , dx)} =
        {f | (1 + x2 )f (x) ∈ L2 (R1 , dx)}

è

        J −1 f (x) = (1 + x2 )f (x).

    Íà ïðîñòðàíñòâå H îïðåäåëèì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå:

                                                   def
                   ∀(f ∈ H , g ∈ H) : [f , g]− = [Jf , Jg]+ .                (4.206)

Ýòî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íà ïðîñòðàíñòâå H ïîðîæäàåò íîðìó:

                                 kf k2− = [f , f ]− .                        (4.207)

Ëåììà 4.8.5. Ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
                            ∀(f ∈ H) : kf k− ≤ kf k.                         (4.208)

    Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì:

                      ∀(f ∈ H) : kf k2− = kJf k2+ ≤ kf k2 .

Ïóñòü H− -ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, ïîëó÷åííîå ïîïîëíåíèåì ïðîñòðàí-
ñòâà H ïî íîðìå k k− ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì [ , ]− . Ïî ïîñòðîåíèþ
ïðîñòðàíñòâî H ïëîòíî â H− ïî íîðìå k k− .
   Â ðàññìàòðèâàåìîì íàìè ïðèìåðå
             Z                             Z
      kf k− = (1 + x ) |f (x)| (1 + x )dx = (1 + x2 )−1 |f (x)|2 dx.
          2          2 −2     2      2



Òåîðåìà 4.8.1. Îïðåäåëåííûé ðàâåíñòâîì (4.201) îïåðàòîð J ïðîäîë-
æàåòñÿ ïî íåïðåðûâíîñòè íà ïðîñòðàíñòâî                  H−   äî îïåðàòîðà

                Je ∈ L(H− 7→ H+ ) , ∀(f ∈ H) : J(f
                                               e ) = J(f ).

Îïåðàòîð   Je óäîâëåòâîðÿåò      óñëîâèÿì:

    Dom(J)
        e = H− , Im(J)           e = 0 , kJe | L(H− 7→ H+ )k = 1.
                    e = H+ , Ker(J)


                                        351

Страницы