Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 364 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∀(f ∈ H) : kfk
2
−
= kJfk
2
+
.
H H
−
e
J ∈ L(H
−
7→ H
+
),
H
−
f ∈ H
−
, kf − f
n
k
−
→ 0 , n → ∞, f
n
∈ H.
Jf
n
H
+
e
Jf := lim
n→∞
Jf
n
.
Im(
e
J) H
+
e
Jf
n
→ g , n → ∞.
f
n
H
−
∃(f
0
∈ H
−
) : f
0
= lim
n→∞
f
n
g =
e
J(f
0
).
Im(
e
J) 6= H
+
g ∈ H
+
, g⊥Im(
e
J)
∀(f ∈ H) : < f , g >= [Jf , g]
+
= 0.
g = 0 Im(
e
J) = H
+
e
J
k
e
J
−1
| L(H
+
7→ H
−
)k = 1.
H
H ×
H
+
H ×H
+
3 f × g →< f , g >∈ C
1
.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ, èìååì:

                      ∀(f ∈ H) : kf k2− = kJf k2+ .            (4.209)

Òàê êàê ïðîñòðàíñòâî H ïëîòíî â H− , òî ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî òàêîå
íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå

                          Je ∈ L(H− 7→ H+ ),

êîòîðîå ïðîäîëæàåò ýòî ðàâåíñòâî íà âñå ïðîñòðàíñòâî H− . Äåéñòâèòåëü-
íî, ïóñòü
              f ∈ H− , kf − fn k− → 0 , n → ∞ , fn ∈ H.
Èç (4.209) ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Jfn ôóíäàìåíòàëüíà â ïðî-
ñòðàíñòâå H+ è ìû ìîæåì ïî îïðåäåëåíèþ ïîëîæèòü

                            Jf
                            e := lim Jfn .
                                   n→∞


Äîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî Im(J)
                          e çàìêíóòî â H+ . Ïóñòü

                          e n → g , n → ∞.
                          Jf

Òîãäà èç (4.209) ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn ôóíäàìåíòàëüíà â
ïðîñòðàíñòâå H− è ïîýòîìó

                 ∃(f0 ∈ H− ) : f0 = lim fn è g = J(f
                                                 e 0 ).
                                   n→∞


Åñëè Im(J)
        e 6= H+ , òî ñóùåñòâóåò g ∈ H+ , g⊥Im(J)
                                              e , íî òîãäà

                 ∀(f ∈ H) : < f , g >= [Jf , g]+ = 0.

Ñëåäîâàòåëüíî, g = 0 è Im(J)
                          e = H+ . Îñòàëüíûå óòâåðæäåíèÿ ëåììû
òðèâèàëüíû.

Ñëåäñòâèå 4.8.3. Îïåðàòîð Je îáðàòèì è
                      kJe−1 | L(H+ 7→ H− )k = 1.

   Òåîðåìó 4.8.1 ìîæíî èçëîæèòü â íåìíîãî äðóãîé ðåäàêöèè.
   Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íà ïðîñòðàíñòâå H ìû ìîæåì ðàññìàòðè-
âàòü êàê áèëèíåéíóþ ôîðìó, çàäàííóþ íà äåêàðòîâîì ïðîèçâåäåíèè H ×
H+ :
                   H × H+ 3 f × g →< f , g >∈ C1 .          (4.210)

                                  352

Страницы