Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 366 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

l(g) = [g
0
, g]
+
= [
e
J
−1
g
0
, g]
0
.
H
−
H
+
, H
−
[ , ]
0
H H
H
+
, H
−
Dom(B) H
B : Dom(B) × Dom(B) 3 x ×y → B(x , y) ∈ C
1
Dom(B)
B(x , y)
∀(x ∈ Dom(B) , y ∈ Dom(B)) : B(x , αy
1
+βy
2
) = αB(x , y
1
)+βB(x , y
2
).
∀(x ∈ Dom(B) , y ∈ Dom(B)) : B(x , y) = B(y , x)
∗
.
−∞ < M < ∞
∀(x ∈ Dom(B)) : B(x , x) ≤ Mkxk
2
, B(x , x) ≥ Mkxk
2
.
B(x , y)
A
∀(x ∈ H , y ∈ H) : B(x , y) =< x , Ay > .
B(x , y)
A
Òîãäà ìû èìååì:
                      l(g) = [g0 , g]+ = [Je−1 g0 , g]0 .
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ëþáîé ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé ôóíêöèî-
íàë íà ïðîñòðàíñòâå H− ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå (4.213). Òåîðåìà
äîêàçàíà.
   Ïðîñòðàíñòâà H+ , H− è áèëèíåéíàÿ ôîðìà [ , ]0 íàçûâàþòñÿ îñíà-
ùåíèåì ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà H , à ñàìî ïðîñòðàíñòâî H âìåñòå ñ
ïðîñòðàíñòâàìè H+ , H− -îñíàùåííûì ãèëüáåðòîâûì ïðîñòðàíñòâîì.

4.8.2   Ïîëóîãðàíè÷åííûå ýðìèòîâû ôîðìû è ðàñøè-

        ðåíèå îïåðàòîðîâ ïî Ôðèäðèõñó.

Ïóñòü Dom(B) -ïëîòíîå â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H ëèíåéíîå ìíî-
ãîîáðàçèå.
   Ôóíêöèÿ

           B : Dom(B) × Dom(B) 3 x × y → B(x , y) ∈ C1

íàçûâàåòñÿ ïîëóîãðàíè÷åííîé ýðìèòîâîé ôîðìîé ñ îáëàñòüþ îïðåäåëå-
íèÿ Dom(B), åñëè
   1. Ôóíêöèÿ B(x , y) ëèíåéíà ïî âòîðîìó àãðóìåíòó:

∀(x ∈ Dom(B) , y ∈ Dom(B)) : B(x , αy1 +βy2 ) = αB(x , y1 )+βB(x , y2 ).

2. Âûïîëíåíî óñëîâèå:

          ∀(x ∈ Dom(B) , y ∈ Dom(B)) : B(x , y) = B(y , x)∗ .

3. Ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà −∞ < M < ∞, ÷òî

   ∀(x ∈ Dom(B)) : ëèáî B(x , x) ≤ M kxk2 , ëèáî B(x , x) ≥ M kxk2 .

Åñëè ýðìèòîâà ôîðìà B(x , y) îãðàíè÷åíà, òî â ñèëó òåîðåìû Ëàêñà-
Ìèëüãðàìà-Âèøèêà ñóùåñòâóåò òàêîé îãðàíè÷åíûé ñàìîñîïðÿæåííûé
îïåðàòîð A, ÷òî

                ∀(x ∈ H , y ∈ H) : B(x , y) =< x , Ay > .        (4.215)

Åñëè ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (4.215), òî ãîâîðÿò, ÷òî ôîðìà B(x , y) ïðåä-
ñòàâëåíà îïåðàòîðîì A. Åñëè ôîðìà íåîãðàíè÷åíà, òî, âîîáùå ãîâîðÿ,
îíà íå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà îïåðàòîðîì (ñîîòâåòñòâóþùèé ïðèìåð
áóäåò ïðèâåäåí íèæå). Íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü âîïðîñ î òîì, ïðè êàêèõ

                                     354

Страницы