Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 367 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

B(x , y) A
B(x , y) → ±B(x , y) + a < x , y > , a ∈ R
1
.
A
A → ±A + aid.
∀(x ∈ Dom(B)) : B(x , x) ≥ kxk
2
.
B(x , y)
Dom(B)
∀(x ∈ Dom(B)) : kx | Bk
2
= B(x , x).
B(x , y)
Dom(B)
H
B
Dom(B)
{x
n
} ⊂ Dom(B) H
B
kx
n
− x
0
| Bk → 0 , x
0
∈ H
B
,
{x
n
} ⊂ Dom(B)
H
I : H
B
7→ H , I(x
0
) = lim
n→∞
x
n
.
H
B(x , y)
Ker(I) = 0.
óñëîâèÿõ ïîëóîãðàíè÷åííàÿ ôîðìà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ñàìîñîïðÿ-
æåííûì îïåðàòîðîì.
   Åñëè ôîðìà B(x , y) ïðåäñòàâëåíà îïåðàòîðîì A, òî ïðè çàìåíå

              B(x , y) → ±B(x , y) + a < x , y > , a ∈ R1 .   (4.216)

ïðåäñòàëÿþùèé åå îïåðàòîð A çàìåíèòñÿ íà îïåðàòîð

                            A → ±A + aid.

ßñíî, ÷òî ñ ïîìîùüþ çàìåíû (4.216) ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìó, êîòîðàÿ
áóäåò óäîâëåòâîðÿòü íåðàâåíñòâó

                  ∀(x ∈ Dom(B)) : B(x , x) ≥ kxk2 .           (4.217)

 äàëüíåéøåì ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íåðàâåíñòâî (4.217) âûïîëíåíî.
   Óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ (4.217) ýðìèòîâà ôîðìà B(x , y) íà ïðî-
ñòðàíñòâå Dom(B) îïðåäåëÿåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìó
                                            def
                ∀(x ∈ Dom(B)) : kx | Bk2 = B(x , x).          (4.218)

Îïðåäåëåíèå 4.8.1. Ýðìèòîâà ôîðìà B(x , y) çàìêíóòà, åñëè ïðîñòðàí-
ñòâî Dom(B) åñòü ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî (ò. å. ïîëíî) îòíîñèòåëüíî
íîðìû (4.218).

   Ïóñòü HB -ïîïîëíåíèå ïðîñòðàíñòâà Dom(B) ïî íîðìå (4.218).
   Åñëè {xn } ⊂ Dom(B) -ñõîäÿùàÿñÿ ïî ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà HB ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòü:

                     kxn − x0 | Bk → 0 , x0 ∈ HB ,            (4.219)

òî â ñèëó íåðàâåíñòâà (4.217) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ⊂ Dom(B) ñõî-
äèòñÿ è â ïðîñòðàíñòâå H , ïîýòîìó ñ ïîìîùüþ (4.219) êîððåêòíî îïðå-
äåëåíî îòîáðàæåíèå

                     I : HB 7→ H , I(x0 ) = lim xn .          (4.220)
                                            n→∞

Ïðåäåë â ïðàâîé ÷àñòè (4.220) âû÷èñëÿåòñÿ â ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà H .

Îïðåäåëåíèå 4.8.2. Ýðìèòîâà ôîðìà B(x , y) çàìûêàåìà, åñëè îïðåäå-
ëåííîå ôîðìóëîé (4.220) îòîáðàæåíèå èìååò íóëåâîå ÿäðî:

                              Ker(I) = 0.

                                  355

Страницы