Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 368 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

H = L
2
(R
1
, dx) , Dom(B) = S(R
1
),
B(f , g) =
Z
(f
∗
(x)g(x) + D
x
f(x)
∗
D
x
g(x))dx =
(2π)
−1
Z
(1 + ξ
2
)
b
f
∗
(ξ)bg(ξ)dξ.
H
B
= {f |
Z
(1 + ξ
2
)|
b
f(ξ)|
2
dξ < ∞}, Ker(I) = 0
H = L
2
(R
1
, dx) , Dom(B) = S(R
1
),
B(f , g) =
Z
f
∗
(x)g(x)dx + f
∗
(0)g(0).
H
B
= L
2
(R
1
, dx) ⊕ C
1
, Ker(I) = 0 ⊕ C
1
6= 0
L
2
(R
1
, dx)
B H
B
Dom(B) k | Bk
I
H
H
B
H
B
H
H
B
⊂ H,
B H
B
B
A
A Dom(B)
Dom(B)
Dom(A) ⊂ Dom(B) , Cl(Dom(A)) ⊃ Dom(B),
   Ïðèâåäåì ïðèìåðû.
   Ïóñòü

             H = L2 (R1 , dx) , Dom(B) = S(R1 ),
                         Z
             B(f , g) = (f ∗ (x)g(x) + Dx f (x)∗ Dx g(x))dx =            (4.221)
                     Z
             (2π) −1
                       (1 + ξ 2 )fb∗ (ξ)b
                                        g (ξ)dξ.                         (4.222)

 ýòîì ñëó÷àå
                           Z
               HB = {f |       (1 + ξ 2 )|fb(ξ)|2 dξ < ∞} , Ker(I) = 0

è ôîðìà (4.222) çàìûêàåìà.
   Ïóñòü

                     H = L2 (R1 , dx) , Dom(B) = S(R1 ),
                               Z
                     B(f , g) = f ∗ (x)g(x)dx + f ∗ (0)g(0).             (4.223)

 ýòîì ñëó÷àå

                 HB = L2 (R1 , dx) ⊕ C1 , Ker(I) = 0 ⊕ C1 6= 0

è ôîðìà (4.223) íå çàìûêàåìà (è íå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà äåéñòâó-
þùèì â ïðîñòðàíñòâå L2 (R1 , dx) îïåðàòîðîì).
   Åñëè ýðìèòîâà ôîðìà B çàìûêàåìà, òî ïðîñòðàíñòâî HB (ïîïîëíå-
íèå ïðîñòðàíñòâà Dom(B) ïî íîðìå k | Bk) ñ ïîìîùüþ îïðåäåëåí-
íîãî ðàâåíñòâîì (4.220) îòîáðàæåíèÿ I ìîæíî âëîæèòü â ïðîñòðàíñòâî
H òàê, ÷òî âëîæåíèå áóäåò âçàèìíî îäíîçíà÷íî íà îáðàçå ïðîñòðàíñòâà
HB , ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî HB åñòü ïîäìíîãîîáðàçèå
ïðîñòðàíñòâà H :
                               HB ⊂ H,
à ýðìèòîâà ôîðìà B ïî íåïðåðûâíîñòè ïðîäîëæåíà íà HB .

Òåîðåìà 4.8.3. Åñëè B -çàìêíóòàÿ ïëîòíî îïðåäåëåííàÿ ïîëóîãðàíè-
÷åííàÿ ýðìèòîâà ôîðìà, òî ñóùåñòâóåò òàêîé ñàìîñîïðÿæåííûé îïå-
ðàòîð   A,   ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
   1.Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà             A ñîäåðæèòñÿ â Dom(B) è ïëîò-
íà â   Dom(B):

          Dom(A) ⊂ Dom(B) , Cl(Dom(A)) ⊃ Dom(B),                         (4.224)

                                         356

Страницы