Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 369 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∀(x ∈ Dom(B) , y ∈ Dom(A)) : B(x , y) =< x Ay > .
B
A
Dom(B) = H
+
, B(x , y) = [x , y]
+
, A = J
−1
,
J
−1
A A
0
∀(x ∈ Dom(A
0
)) , B(x , x) = [x , A
0
x]
+
≥ kxk
2
,
Ker(A
0
) = 0
A
−1
0
∀(x ∈ Dom(B) , y ∈ Dom(A
0
)) :
< A
0
y , x >= [y , x]
+
= [JA
0
y , x]
+
= [A
0
y , Jx]
+
= [y , A
0
Jx]
+
,
< y , x >= [A
−1
0
y , x]
+
= [Jy , x]
+
.
Dom(A
0
) Dom(B)
A
0
L(H
+
→ H)
H
+
J
−1
A
−1
0
Dom(B) J
Dom(A) H
A Dom(A)
∀(x ∈ Dom(A) , y ∈ Dom(A)) : < x , Ay >=< Ax , y >,
∀(x ∈ Dom(A)) : < x , Ax >≥ Mkxk
2
< x , Ax >≤ Mkxk
2
.
A H
Dom(A)
∀(x ∈ Dom(A) , y ∈ Dom(A)) : B(x , y) =< x , Ay >
2. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:

       ∀(x ∈ Dom(B) , y ∈ Dom(A)) : B(x , y) =< x Ay > .                 (4.225)
     Óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì 1-2 ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð åäèí-
ñòâåíåí è íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì, êîòîðûé ïðåäñòàâëÿåò ôîðìó                   B.
   Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå îïåðàòîðà A. Çàìåíîé (4.216)
ïåðåéäåì ê ôîðìå, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó (4.217). Äàëåå èñ-
ïîëüçóåì êîíñòðóêöèþ, îïèñàííóþ â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå: ïóñòü
               Dom(B) = H+ , B(x , y) = [x , y]+ , A = J −1 ,
ãäå J −1 -ââåäåííûé â ñëåäñòâèè (4.8.2) îïåðàòîð. Êàê äîêàçàíî â ïðåäû-
äóùåì ïàðàãðàôå, óñëîâèÿ 1-2 âûïîëíåíû. Äîêàæåì åäèíñòâåííîñòü îïå-
ðàòîðà A. Ïóñòü îïåðàòîð A0 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 1-2. Òàê êàê
              ∀(x ∈ Dom(A0 )) , B(x , x) = [x , A0 x]+ ≥ kxk2 ,

òî

              Ker(A0 ) = 0
è îïåðàòîð A−1
            0 ñóùåñòâóåò. Äàëåå èìååì:

      ∀(x ∈ Dom(B) , y ∈ Dom(A0 )) :
      < A0 y , x >= [y , x]+ = [JA0 y , x]+ = [A0 y , Jx]+ = [y , A0 Jx]+ ,
      < y , x >= [A−1
                    0 y , x]+ = [Jy , x]+ .

Òàê êàê ìíîæåñòâî Dom(A0 ) ïëîòíî â Dom(B), òî îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
îïåðàòîð A0 íåïðåðûâåí êàê îïåðàòîð L(H+ → H) è ñîâïàäàåò íà ïëîò-
íîì â H+ ìíîæåñòâå ñ îðàíè÷åííûì îïåðàòîðîì J −1 , à îïåðàòîð A−1
                                                                0
ñîâïàäàåò íà Dom(B) ñ îïåðàòîðîì J . Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Ïóñòü Dom(A) -ïëîòíîå â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H ëèíåéíîå
ìíîãîîáðàçèå, è A -îïðåäåííûé íà Dom(A) ñèììåòðè÷íûé ïîëóîãðàíè-
÷åííûé îïåðàòîð:
 ∀(x ∈ Dom(A) , y ∈ Dom(A)) : < x , Ay >=< Ax , y >,
 ∀(x ∈ Dom(A)) : < x , Ax >≥ M kxk2 èëè < x , Ax >≤ M kxk2 . (4.226)
Òåîðåìà 4.8.4. Åñëè A -îïðåäåííûé íà ïëîòíîì â H ëèíåéíîì ìíîãî-
îáðàçèè   Dom(A) ñèììåòðè÷íûé ïîëóîãðàíè÷åííûé îïåðàòîð, òî ôîðìà
           ∀(x ∈ Dom(A) , y ∈ Dom(A)) : B(x , y) =< x , Ay >
ýðìèòîâà, ïîëóîãðàíè÷åíà è çàìûêàåìà.


                                      357

Страницы