Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 370 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

{x
n
} ⊂ Dom(A))
{x
n
}
kx | Bk
2
= B(x , x).
{x
n
} H
kx
n
k → 0 , n → ∞,
B(x
n
, x
n
) → 0 , n → ∞.
H
B
H k |
Bk x
0
∈ H
B
{x
n
}
∀(x ∈ Dom(A))) : |B(x , x
0
)| = lim
n→∞
|B(x , x
n
)| =
lim
n→∞
| < x , Ax
n
> | = lim
n→∞
| < Ax , x
n
> | ≤ lim
n→∞
kAxk · kx
n
k = 0.
Dom(A) H
B
x
0
= 0
A H
Dom(A)
Λ : A → ±A + aid
ΛA
∀(x ∈ Dom(A) , y ∈ Dom(A)) : B(x , y) =< x , ΛAy >
∀(x ∈ Dom(A)) : B(x , x) ≥ kxk
2
.
B ΛA
B
∀(x ∈ Dom(B) , , y ∈ Dom(ΛA)) : B(x , y) =< x , ΛAy > .
A := Λ
−1
ΛA
Dom(A) ⊂ Dom(A) ⊂ Dom(B) , ∀(x ∈ Dom(A)) : Ax = A(x).
A A
   Äîêàçàòåëüñòâî. Â íåì íóæäàåòñÿ òîëüêî ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå. Áåç
îðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî (4.217).
Íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ⊂ Dom(A)) óäî-
âëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:
   1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ôóíäàìåíòàëüíà ïî íîðìå
                             kx | Bk2 = B(x , x).
     2. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ñõîäèòñÿ ê íóëþ â ïðîñòðàíñòâå H :
                             kxn k → 0 , n → ∞,
òî
                          B(xn , xn ) → 0 , n → ∞.
Ïóñòü ïðîñòðàíñòâî HB åñòü ïîïîëíåíèå ïðîñòðàíñòâà H ïî íîðìå k           |
Bk è x0 ∈ HB -ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }. Èìååì:
      ∀(x ∈ Dom(A))) : |B(x , x0 )| = lim |B(x , xn )| =
                                      n→∞
      lim | < x , Axn > | = lim | < Ax , xn > | ≤ lim kAxk · kxn k = 0.
      n→∞                   n→∞                     n→∞

Òàê êàê ìíîæåñòâî Dom(A) ïëîòíî â HB , òî îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî x0 = 0.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Ïóñòü A -îïðåäåííûé íà ïëîòíîì â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H ëè-
íåéíîì ìíîãîîáðàçèè Dom(A) ñèììåòðè÷íûé ïîëóîãðàíè÷åííûé îïåðà-
òîð.
   Çàìåíîé
                         Λ : A → ±A + aid                     (4.227)
ìîæíî ñäåëàòü òàê, ÷òî ïîðîæäåííàÿ îïåðàòîðîì ΛA ýðìèòîâà ôîðìà
       ∀(x ∈ Dom(A) , y ∈ Dom(A)) : B(x , y) =< x , ΛAy >           (4.228)
áóäåò óäîâëåòâîðÿòü íåðàâåíñòâó:
                     ∀(x ∈ Dom(A)) : B(x , x) ≥ kxk2 .
Ñäåëàåì òàêóþ çàìåíó è ïóñòü B -çàìûêàíèå ôîðìû (4.228), à ΛA -
îïåðàòîð, êîòîðûé ïðåäñòàâëÿåò ôîðìó B :
         ∀(x ∈ Dom(B) , , y ∈ Dom(ΛA)) : B(x , y) =< x , ΛAy > .
Îïåðàòîð
                                A := Λ−1 ΛA                         (4.229)
ñàìîñîïðÿæåí è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:
      Dom(A) ⊂ Dom(A) ⊂ Dom(B) , ∀(x ∈ Dom(A)) : Ax = A(x).
Îïåðàòîð A íàçûâàåòñÿ ðàñøèðåíèåì ïî Ôðèäðèõñó îïåðàòîðà A. Ýòî
ðàñøèðåíèå ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå.

                                     358

Страницы