Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 371 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

z 7→ (z −i)/(z + i)
R
1
z = exp(iθ) , 0 ≤ θ ≤ 2π.
A
Ca(A) = (A − iid) · (A + iid)
−1
Ca(A)
Ca(A)
A
A
Ca(A)
A
Dom(A + iid)
−1
= H , Im((A + iid)
−1
) ⊂ Dom(A − iid),
Dom(Ca(A)) = H
Ca(A)
A
Ca(A)
Gr(Ca(A)) = {(A + iid)h ⊕ (A − iid)h | h ∈ Dom(A)}.
4.9    Ïðåîáðàçîâàíèå Êåëëè è ñïåêòðàëüíîå ðàç-

       ëîæåíèå íåîãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ.

Äðîáíî-ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå

                          z 7→ (z − i)/(z + i)

ïåðåâîäèò ïðÿìóþ R1 â îêðóæíîñòü

                       z = exp(iθ) , 0 ≤ θ ≤ 2π.

Ñïåêòð ëþáîãî ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà ëåæèò íà äåéñòâèòåëüíîé
îñè. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè A -îãðàíè÷åííûé ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð,
òî ïî òåîðåìå îá îòîáðàæåíèè ñïåêòðà ñïåêòð îïåðàòîðà
                           def
                    Ca(A) = (A − iid) · (A + iid)−1             (4.230)

ëåæèò íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè è îïåðàòîð Ca(A) óíèòàðåí. Ìû äîêà-
æåì, ÷òî îïåðàòîð Ca(A) óíèòàðåí äëÿ ëþáîãî ñàìîñîïðÿæåííîãî îïå-
ðàòîðà A.

Ëåììà 4.9.1. Åñëè A -ïðîèçâîëüíûé ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð, òî
ôîðìóëà   (4.230) êîððåêòíî îïðåäåëÿåò îïåðàòîð Ca(A).

   Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè A -ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð, òî â ñèëó òåî-
ðåìû 4.7.3

        Dom(A + iid)−1 = H , Im((A + iid)−1 ) ⊂ Dom(A − iid),

ïîýòîìó ïðîèçâåäåíèå îïåðàòîðîâ â (4.230) êîððåêòíî îïðåäåëåíî è
Dom(Ca(A)) = H .

Îïðåäåëåíèå 4.9.1. Îïðåäåëåííûé ôîðìóëîé (4.230) îïåðàòîð Ca(A)
íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Êåëëè îïåðàòîðà A.

   Ïðÿìîå âû÷èñëåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ñïðàâåäëèâà

Ëåììà 4.9.2. Ãðàôèê îïåðàòîðà Ca(A) åñòü ìíîæåñòâî
      Gr(Ca(A)) = {(A + iid)h ⊕ (A − iid)h | h ∈ Dom(A)}.       (4.231)

   Èç ýòîé ëåììû âûòåêàåò

                                  359

Страницы