Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 373 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f
(∞, λ]
∀(φ ∈ H , λ = −ctg(θ/2)) : < φ , E(λ , A)φ >=< φ , E
un
(θ , Ca(A))φ > .
A z = 1
Ca(A) (Ca(A)−id)
−1
: (f)(θ) = f(−ctg(θ/2)
Bor(R
1
) Bor([0 , 2π]) A
Op
Ca(A)
f ∈ Bor([0 , 2π])
∀(φ ∈ H) : < φ , Op
Ca(A)
(f)φ >:=
lim
→0
< φ , Op
Ca(A)
(I([ , 2π − ] | ·)f)φ > .
Op
Ca(A)
f ∈ Bor([0 , 2π]) Op
Ca(A)
Opb
A
: Bor(R
1
) 3 f 7→ f 7→ Op
Ca(A)
∈ L(H 7→ H)
Bor(R
1
) L(H 7→
H) A
Opb
A
Èíòåãðàë â (4.234) íóæíî ïîíèìàòü êàê èíòåãðàë Ëåáåãà-Ñòëüòüåñà.
  Ïîäñòàâèâ â ôîðìóëó (4.234) âìåñòî ôóíêöèè f õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ
ôóíêöèþ ïîëóèíòåðâàëà (∞ , λ], ìû ïîëó÷èì:

∀(φ ∈ H , λ = − ctg(θ/2)) : < φ , E(λ , A)φ >=< φ , Eun (θ , Ca(A))φ > .

Åñëè îïåðàòîð A íåîãðàíè÷åí, òî òî÷êà z = 1 ïðèíàäëåæèò ñïåêòðó îïå-
ðàòîðà Ca(A) è îïåðàòîð (Ca(A)−id)−1 íå ñóùåñòâóåò, ïîýòîìó ïðåäûäó-
ùèå ðàññóæäåíèÿ äëÿ íåîãðàíè÷åííîãî îïåðàòîðà íå ïðîõîäÿò. Íî îãðà-
íè÷åííóþ ôóíêöèþ îò íåîãðàíè÷åííîãî îïåðàòîðà ìîæíî ïðîñòî îïðå-
äåëèòü ðàâåíñòâîì (4.234). Ïîêàæåì, êàê ýòî ìîæíî ñäåëàòü.
   Íàïîìíèì, ÷òî çàäàííàÿ íà äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé ôóíêöèÿ èçìå-
ðèìà ïî Áîðåëþ, åñëè åå ñóæåíèå íà ëþáîå êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî èçìå-
ðèìî ïî Áîðåëþ.
   Ïðåîáðàçîâàíèå

                      Ca : Ca(f )(θ) = f (− ctg(θ/2)

ïåðåâîäèò àëãåáðó âñåõ îãðàíè÷åííûõ èçìåðèìûõ ïî Áîðåëþ ôóíêöèé íà
äåéñòâèòåëüíîé îñè Bor(R1 ) â àëãåáðó Bor([0 , 2π]). Ïóñòü A -ïðîèçâîëüíûé
(îãðàíè÷åííûé èëè íåò) ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð. Íèæå ïîä îòîáðà-
æåíèåì OpCa(A) íàì áóäåò óäîáíî ïîíèìàòü åãî ðåãóëÿðèçàöèþ, êîòîðàÿ
ñòîèòñÿ òàê. Äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ îãðàíè÷åííûõ èçìåðèìûõ ôóíêöèé
f ∈ Bor([0 , 2π]) ìû ïîëàãàåì

                ∀(φ ∈ H) : < φ , OpCa(A) (f )φ >:=
                lim < φ , OpCa(A) (I([ , 2π − ] | ·)f )φ > .   (4.235)
                →0

ãäå â ïðàâîé ÷àñòè OpCa(A) -çàäàííîå îïðåäåëåíèåì 4.5.2 (ñì. ñòð. 316)
îòîáðàæåíèå. Ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà â (4.235) î÷åâèäíî, òàê êàê ïðà-
âàÿ ÷àñòü (4.235) îãðàíè÷åíà è íå óáûâàåò êàê ôóíêöèÿ . Íà îñòàëüíûå
ôóíêöèè f ∈ Bor([0 , 2π]) îòîáðàæåíèå OpCa(A) ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïî ëè-
íåéíîñòè. Èç òåîðåìû 4.6.1 è ôîðìóëû (4.234) âûòåêàåò

Òåîðåìà 4.9.1. Îòîáðàæåíèå
       OpbA : Bor(R1 ) 3 f 7→ Caf 7→ OpCa(A) ∈ L(H 7→ H)         (4.236)

ïåðåâîäèò àëãåáðóBor(R1 ) â êîììóòàòèâíóþ ïîäàëãåáðó àëãåáðû L(H 7→
H) è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû 4.5.1, à åñëè îïåðàòîð A îãðà-
íè÷åí, òî îòîáðàæåíèå (4.236) ñîâïàäàåò ñ îïèñàííûì â òåîðåìå 4.5.1
îòîáðàæåíèåì OpbA .


                                     361

Страницы