Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 375 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

o(1) → 0 , |θ
1
− θ
2
| → 0 , θ ∈ [θ
1
, θ
2
] ⊂ [ , 2π − ] , > 0.
kAψk
2
= lim
→0
Z
2π−
(cos(θ/2))
2
d
θ
< φ , E
un
(θ , Ca(A))φ >=
lim
→0
Z
2π−
(ctg(θ/2))
2
d
θ
< ψ , E
un
(θ , Ca(A))ψ > .
ψ
A
ψ
A
ψ
n
= (E
un
(2π − 1/n , Ca(A)) − E
un
(1/n , Ca(A)))ψ.
ψ
n
→ ψ , n → ∞, ψ
n
∈ Dom(A),
Aψ
n
→ y , n → ∞.
A
ψ ∈ Dom(A) , Aψ = lim
n→∞
Aψ
n
∀(f ∈ Bor(R
1
) , φ ∈ H) :
kf(A)φk
2
=
Z
2π
0
|f(−ctg(θ/2)|
2
µ(φ|dθ),
µ(φ|dθ) = d
θ
< φ , E
un
(θ , Ca(A))φ > .
ν(φ|dλ) = d
λ
< φ , E(λ , A)φ > .
ãäå
        o(1) → 0 , |θ1 − θ2 | → 0 , θ ∈ [θ1 , θ2 ] ⊂ [ , 2π − ] ,  > 0.
Âñïîìèíàÿ îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà Ðèìàíà-Ñòèëüòüåñà (ñì. ñòð. 57), ìû
ïîëó÷àåì:
                     Z 2π−
            2
       kAψk = lim           (cos(θ/2))2 dθ < φ , Eun (θ , Ca(A))φ >=
                →0 
           Z 2π−
       lim        (ctg(θ/2))2 dθ < ψ , Eun (θ , Ca(A))ψ > .
        →0   

Ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà ñëåäóåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü âûïè-
ñàííîãî ðàâåíñòâà îðàíè÷åíà ñâåðõó è íå óáûâàåò êàê ôóíêöèÿ .
    Ìû äîêàçàëè, ÷òî åñëè ψ ïðèíàäëåæèò îáëàñòè îïðåäåëåíÿ îïåðàòîðà
A, òî èíòåãðàë â (4.238) ñõîäèòñÿ. Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî èíòåãðàë â
(4.238) ñõîäèòñÿ è äîêàæåì, ÷òî ψ ïðèíàäëåæèò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ
îïåðàòîðà A.
    Ïóñòü

          ψn = (Eun (2π − 1/n , Ca(A)) − Eun (1/n , Ca(A)))ψ.

Òîãäà
                     ψn → ψ , n → ∞ , ψn ∈ Dom(A),
à èç ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà (4.238) ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë

                              Aψn → y , n → ∞.

Èç çàìêíóòîñòè îïåðàòîðà A ñëåäóåò, ÷òî

                       ψ ∈ Dom(A) , Aψ = lim Aψn
                                                n→∞

Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Èç ôîðìóëû (4.238) ñëåäóåò, ÷òî

                  ∀(f ∈ Bor(R1 ) , φ ∈ H) :
                             Z 2π
                          2
                  kf (A)φk =       |f (− ctg(θ/2)|2 µ(φ|dθ),                 (4.241)
                                 0

ãäå
                  µ(φ|dθ) = dθ < φ , Eun (θ , Ca(A))φ > .
 äàëüíåøåì íàì áóäåò óäîáíî ïåðåéòè ê ìåðå (ñì. (4.237) íà ñòð. 362)

                      ν(φ|dλ) = dλ < φ , E(λ , A)φ > .                       (4.242)

                                       363

Страницы