Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 377 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

e
1
∈
H
µ
1
(dλ) = d
λ
< e
1
, E(λ , A)e
1
>,
H
1
= Cl{f(A)e
1
| f(λ) ∈ L
2
(R
1
, µ
1
(dλ))}.
H
1
L
2
(R
1
, µ
1
(dλ))
T
1
: H
1
3 f(A)e
1
7→ f(λ) ∈ L
2
(R
1
, µ
1
(dλ)),
∀(g ∈ Bor(R
1
)) : T
1
(g(A)e
1
) = g(λ)T
1
(e
1
) = g(λ).
H
1
6= H H
⊥
1
e
2
e
j
H
H = ⊕
X
i
H
i
,
H
L
2
(R
1
, µ
j
(dλ))
A e
j
A
−
d
2
dx
2
H
2
(R
1
) ⊂ L
2
(R
1
, dx)
∀(f ∈ H
2
(R
1
)) : −
d
2
dx
2
f(x) =
1
2π
Z
∞
−∞
exp(ixξ)|ξ|
2
b
f(ξ)dξ.
∀(λ 6∈ [0 , ∞) , f ∈ L
2
(R
1
, dx)) : R(λ , −
d
2
dx
2
)f(x) =
1
2π
Z
∞
−∞
|(λ − |ξ|
2
)
−1
exp(ixξ)
b
f(ξ)dξ =
Z
∞
−∞
r(x , y , λ)f(y)dy,
    Äîêàçàòåëüñòâî. Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíî íîðìèðîâàííûé âåêòîð e1 ∈
H . Ïóñòü

                µ1 (dλ) = dλ < e1 , E(λ , A)e1 >,
                H1 = Cl{f (A)e1 | f (λ) ∈ L2 (R1 , µ1 (dλ))}.

Èç (4.244) ñëåäóåò, ÷òî ïðîñòðàíñòâî H1 óíèòàðíî èçîìîðôíî ïðîñòðàí-
ñòâó L2 (R1 , µ1 (dλ)), è ýòîò èçîìîðôèçì îñóùåñòâëÿåòñÿ óíèòàðíûì îïå-
ðàòîðîì
                  T1 : H1 3 f (A)e1 7→ f (λ) ∈ L2 (R1 , µ1 (dλ)),
ïðè÷åì
             ∀(g ∈ Bor(R1 )) : T1 (g(A)e1 ) = g(λ)T1 (e1 ) = g(λ).
Åñëè H1 6= H , òî â ïðîñòðàíñòâå H1⊥ ìû âîçüìåì íîðìèðîâàííûé âåêòîð
e2 è ïîâòîðèì íàøå ïîñòðîåíèå. Òàê ìû ïîëó÷èì (äàëåå ìû ðàññóæäàåì
òàêæå, êàê íà ñòð. 171, âåêòîðîâ ej ìîæåò áûòü íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîå
÷èñëî) ðàçëîæåíèå ïðîñòðàíñòâà H â ïðÿìóþ ñóììó ïðîñòðàíñòâ
                                    X
                             H=⊕       Hi ,
                                         i

â êàæäîì èç êîòîðûõ îïåðàòîð H óíèòàðíî ýêâèâàëåíòåí îïåðàòîðó
óìíîæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå L2 (R1 , µj (dλ)). Îïèñàííàÿ âûøå êîíñòðóê-
öèÿ ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç âàðèàíòîâ îáùåé ñïåêòðàëüíîé òåîðåìû. Åñëè
îïåðàòîð A ñàìîñîïðÿæåí è êîìïàêòåí, òî â êà÷åñòâå âåêòîðîâ ej ìîæíî
áðàòü ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðà A, è òîãäà ìû ïîëó÷èì óäîáíîå
îïèñàíèå îïåðàòîðà.  îáùåì ñëó÷àå äëÿ ïîëó÷åíèÿ óäîáíîãî îïèñàíèÿ
îïåðàòîðà ïðèõîäèòñÿ ñóæàòü êëàññ ðàññìàòðèâàåìûõ îïåðàòîðîâ è ïðè-
áåãàòü ê äîïîëíèòåëüíûì ïðèåìàì (ââîäèòü íàê íàçûâàåìîå îñíàùåíèå
èñõîäíîãî ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà).
                                                   d2
   Âû÷èñëèì ñïåêòðàëüíóþ ôóíêöèþ îïåðàòîðà − dx      2 ñ îáëàñòüþ îïðå-

äåëåíèÿ H 2 (R1 ) ⊂ L2 (R1 , dx).
   Ïî îïðåäåëåíèþ èìååì:
                                        Z ∞
                  2  1         d2     1
        ∀(f ∈ H (R )) : − 2 f (x) =          exp(ixξ)|ξ|2 fb(ξ)dξ.
                              dx     2π −∞
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

                     2   1                 d2
∀(λ 6∈ [0 , ∞) , f ∈ L (R , dx)) : R(λ , − 2 )f (x) =
   Z ∞                                    dx
                                        Z ∞
 1                2 −1
         |(λ − |ξ| ) exp(ixξ)fb(ξ)dξ =      r(x , y , λ)f (y)dy,
2π −∞                                    −∞


                                     365

Страницы