Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 379 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

µ(dλ) σ(A) L
2
(σ(A) 7→ h)
C((σ(A) 7→ h)
kf | L
2
(σ(A) 7→ h)k
2
=
Z
σ(A)
kf(λ) | hk
2
µ(dλ).
U : H 7→ L
2
(σ(A) 7→ h),
A
∀(f ∈ Dom(A)) : UAf(λ) = λUf(λ).
L
2
(σ(A) 7→ h) A
A
A λ
j
, ψ
j
σ(A) = {λ
j
} , Aψ
j
(·, λ
j
) = λ
j
ψ
j
(·, λ
j
).
h = C
1
, L
2
(σ(A) 7→ h) = l
2
, Uf(λ
j
) =< ψ(·, λ
j
) , f > .
H = L
2
(R
n
, dx) U
Uf(λ , ω) =
Z
e(x , λ , ω)
∗
f(x)dx ,
U
µ(dλ) × dω : A
x
e(x , λ , ω) = λe(x , λ , ω).
L
2
(R
n
, dx)
U
L
2
(R
n
, dx)
L
2
(R
2
, dx)
ãäå µ(dλ) -áîðåëåâñàÿ ìåðà íà σ(A). Ïóñòü ïðîñòðàíñòâî L2 (σ(A) 7→ h)
åñòü ïîïîëíåíèå ïðîñòðàíñòâà C((σ(A) 7→ h) ïî íîðìå
                                    Z
                    2            2
              kf | L (σ(A) 7→ h)k =    kf (λ) | hk2 µ(dλ).
                                            σ(A)

Îïðåäåëåíèå 4.9.2. Óíèòàðíîå îòîáðàæåíèå
                          U : H 7→ L2 (σ(A) 7→ h),

íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëèçèðóåùèì ïðåîáðàçîâàíèåì, åñëè ïðè ýòîì îòîáðà-
æåíèè îïåðàòîð A ïåðåõîäèò â îïåðàòîð óìíîæåíèÿ:

                  ∀(f ∈ Dom(A)) : U Af (λ) = λU f (λ).

   Â ïðîñòðàíñòâå L2 (σ(A) 7→ h) ôóíêöèÿ îò îïåðàòîðà A äåéñòâóåò
êàê îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íà ôóíêöèþ, è ýòî ÷àñòî óïðîùàåò èçó÷åíèå
îïåðàòîðà A.
   Ïðèâåäåì ïðèìåðû.
   Ïóñòü îïåðàòîð A êîìïàêòåí è ïóñòü λj , ψj -åãî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè. Òîãäà:

                 σ(A) = {λj } , Aψj (· , λj ) = λj ψj (· , λj ).

 ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïîëîæèòü:

        h = C1 , L2 (σ(A) 7→ h) = l2 , U f (λj ) =< ψ(· , λj ) , f > .

Åñëè ïîñòðàíñòâî H = L2 (Rn , dx), à ïðåîáðàçîâàíèå U ìû èùåì â âèäå
                               Z
                  U f (λ , ω) = e(x , λ , ω)∗ f (x)dx ,       (4.247)

òî òîãäà èíòåãðàëüíîå ÿäðî ïðåîáðàçîâàíèÿ U äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü
óðàâíåíèþ

             µ(dλ) × dω ï.â. : Ax e(x , λ , ω) = λe(x , λ , ω).          (4.248)

Âîîáùå ãîâîðÿ, ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4.248) ìîãóò íå ïðèíàäëåæàòü ïðî-
ñòðàíñòâó L2 (Rn , dx) (ïðîáëåìà íåíîðìèðóåìûõ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé
íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà).  ýòîì ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàíèå U íå ìîæåò
áûòü çàäàíî ôîðìóëîé (4.247) íà âñåõ ôóíêöèÿõ èç L2 (Rn , dx): îáû÷íî
óäàåòñÿ çàäàòü åãî ýòîé ôîðìóëîé íà ïëîòíîì â L2 (R2 , dx) ìíîæåñòâå.
Ñåé÷àñ äëÿ íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ ñëó÷àåâ ðàçðàáîòàíà ýôôåê-
òèâíàÿ òåõíèêà ðåøåíèÿ ýòîé ïðîáëåìû.

                                      367

Страницы