Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 378 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

r(x , y , λ) =
1
2π
Z
∞
−∞
|(λ − |ξ|
2
)
−1
exp(i(x − y)ξ)dξ =
1
2π
Z
∞
−∞
|(λ − |ξ|
2
)
−1
cos((x − y)ξ)dξ =
1
2π
Z
∞
0
(λ − µ)
−1
cos((x − y)
√
µ)
√
µ
dµ.
∀(λ ∈ (0 , ∞)) :
1
2πi
(R(λ −i , −
d
2
dx
2
) − R(λ + i , −
d
2
dx
2
)))f(x) =
Z
∞
−∞
k(x , y , λ , )f(y)dy,
k(x, , y , λ , ) =
2π
2
Z
∞
0
((λ − µ)
2
+
2
)
−1
cos(|x − y|
√
µ)
√
µ
dµ.
E(λ , −
d
2
dx
2
)f(x) =
lim
→0)
[
1
2πi
Z
λ
0
(R(µ −i , −
d
2
dx
2
) − R(µ + i , −
d
2
dx
2
))dµ]f(x) =
1
π
Z
λ
0
Z
∞
−∞
cos(|x − y|
√
µ)
2
√
µ
f(y)dy
dµ =
Z
∞
−∞
sin(|x − y|
√
λ)
π|x −y|
f(y)dy,
φ(−
d
2
dx
2
)f(x) =
1
2π
Z
∞
0
φ(λ)
Z
∞
−∞
cos(|x − y|
√
λ)
2
√
λ
f(y)dy
!
dλ.
A C((σ(A) 7→ h)
σ(A)
h
h = L
2
(Ω , dω) Ω
dω Ω
C((σ(A) 7→ h)
∀(f(λ) ∈ C((σ(A) 7→ h) , g(λ) ∈ C((σ(A) 7→ h)) :
< f , g >:=
Z
b
a
< f(λ) , g(λ) >
h
µ(dλ),
ãäå
                    Z ∞
                 1
r(x , y , λ) =          |(λ − |ξ|2 )−1 exp(i(x − y)ξ)dξ =
                2π −∞
   Z ∞                                         Z ∞                      √
 1                 2 −1                      1            −1 cos((x − y) µ)
          |(λ − |ξ| ) cos((x − y)ξ)dξ =            (λ − µ)         √        dµ.
2π −∞                                       2π 0                     µ
Ïîýòîìó
                            1                d2                 d2
       ∀(λ ∈ (0 , ∞)) :        (R(λ − i , − 2 ) − R(λ + i , − 2 )))f (x) =
       Z ∞                 2πi              dx                 dx
            k(x , y , λ , )f (y)dy,
        −∞
ãäå
                                       ∞                                 √
                                                                     − y| µ)
                                                           2 −1 cos(|x
                               Z
                                                   2
       k(x, , y , λ , ) = 2               ((λ − µ) +  )            √       dµ.
                          2π       0                                  µ
Ñëåäîâàòåëüíî,
               d2
      E(λ , −     )f (x) =
              dx2
               Z λ
            1                     d2                d2
      lim [        (R(µ − i , − 2 ) − R(µ + i , − 2 ))dµ]f (x) =
      →0) 2πi 0                 dx                dx
        Z λ Z ∞               √                Z ∞             √
                   cos(|x − y| µ)
                                          
      1                                              sin(|x − y| λ)
                          √        f (y)dy dµ =                     f (y)dy,
      π 0      −∞        2 µ                      −∞    π|x − y|
è
                               ∞                   ∞
                                                                   √          !
          d2                                            cos(|x − y| λ)
                          Z                    Z
                      1
      φ(− 2 )f (x) =               φ(λ)                        √       f (y)dy dλ.
         dx          2π    0                    −∞           2 λ
   Èíîãäà (îñîáåííî â òåîðèè ðàññåÿíèÿ) áûâàåò ïîëåçíà ñëåäóþùàÿ
êîíñòðóêöèÿ. Ïóñòü A -ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð è C((σ(A) 7→ h) -
ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ íà σ(A) ôóíêöèé ñî çíà÷åíèÿìè âî âñïîìîãà-
òåëüíîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå h.
    äàëüíåéøå ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî h = L2 (Ω , dω), ãäå Ω -êîìïàêòíîå
òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, à dω -ïîïîëíåíèå áîðåëåâñêîé ìåðû íà Ω.
    ñëó÷àå íåîãðàíè÷åííîãî èíòåðâàëà ïðåäïëàãàåòñÿ, ÷òî íîñèòåëü
êàæäîé ôóíêöèè êîìïàêòåí. Ââåäåì â C((σ(A) 7→ h) ñêàëÿðíîå ïðî-
èçâåäåíèå:
                ∀(f (λ) ∈ C((σ(A) 7→ h) , g(λ) ∈ C((σ(A) 7→ h)) :
                             Z b
                < f , g >:=      < f (λ) , g(λ) >h µ(dλ),
                                   a


                                                   366

Страницы