Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 376 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

λ →< φ , E(λ , A)φ > , −∞ < λ < ∞
ν(φ|dλ)
Z
∞
−∞
1 · ν(φ|dλ) = kφk
2
∀(f ∈ Bor(R
1
) , φ ∈ H) :
kf(A)φk
2
=
Z
∞
−∞
|f(λ)|
2
ν(φ|dλ),
L
2
(X)
A
H
{µ
j
(dλ) | 1 ≤ j < ∞}
H
H = ⊕
X
1≤j<∞
H
j
,
T
j
: H
j
7→ L
2
(R
1
, µ
j
(dλ))
H
j
A
∀(j , f ∈ BorR
1
) : f(A)H
j
⊂ H
j
,
H
j
f(A)
f(λ) L
2
(R
1
, µ
j
(dλ))
∀(x ∈ H
j
) : T
j
f(A)x = f(λ)T
j
x ∈ L
2
(R
1
, µ
j
(dλ)).
∀(x ∈ H
j
) : kf(A)xk
2
=
Z
∞
−∞
|f(λ)T
j
x(λ)|
2
µ
j
(dλ)
Î÷åâèäíî, ÷òî ïîðîæäåííàÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ

                   λ →< φ , E(λ , A)φ > , −∞ < λ < ∞                          (4.243)

áîðåëåâñêàÿ ìåðà ν(φ|dλ) íîðìèðîâàíà:
                        Z ∞
                            1 · ν(φ|dλ) = kφk2
                             −∞

è â ñèëó (4.241) ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà:

                      ∀(f ∈ Bor(R1 ) , φ ∈ H) :
                                 Z ∞
                              2
                      kf (A)φk =       |f (λ)|2 ν(φ|dλ),                      (4.244)
                                       −∞

Ôîðìóëà (4.244) ïîçâîëÿåò äàòü îïèñàíèå ïðîèçâîëüíîãî ñàìîñîïðÿæåí-
íîãî îïåðàòîðà â òåðìèíàõ îïåðàòîðà óìíîæåíèÿ íà íåçàâèñèìóþ ïåðå-
ìåííóþ â ïðîñòðàíñòâå L2 (X).

Òåîðåìà 4.9.3. Ïóñòü A ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð â ñåïàðàáåëüíîì
ãèëüáåòðîâîì ïðîñòðàíñòâå         H.   Òîãäà ñóùåñòâóþò ñëåäóþùèå îáúåê-
òû:
   1. íîðìèðîâàííûå íà åäèíèöó áîðåëåâñêèå ìåðû               {µj (dλ) | 1 ≤ j < ∞},
   2. ðàçëîæåíèå ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà                H   â ïðÿìóþ ñóììó
                                          X
                              H=⊕                 Hj ,
                                        1≤j<∞

3. óíèòàðíûå îòîáðàæåíèÿ

                          Tj : Hj 7→ L2 (R1 , µj (dλ))

êîòîðûå îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè
   1. ïðîñòðàíñòâà   Hj   ïðèâîäÿò ëþáóþ îãðàíè÷åííóþ áîðåëåâñêóþ ôóíê-
öèþ îò îïåðàòîðà    A:

                      ∀(j , f ∈ BorR1 ) : f (A)Hj ⊂ Hj ,

   2. â ïðîñòðàíñòâå    Hj   îïåðàòîð     f (A)   óíèòàðíî ýêâèâàëåíòåí îïåðà-
òîðó óìíîæåíèÿ íà ôóíêöèþ         f (λ)   â ïðîñòðàíñòâå        L2 (R1 , µj (dλ)):

         ∀(x ∈ Hj ) : Tj f (A)x = f (λ)Tj x ∈ L2 (R1 , µj (dλ)).              (4.245)
                                    Z ∞
         ∀(x ∈ Hj ) : kf (A)xk =2
                                         |f (λ)Tj x(λ)|2 µj (dλ)              (4.246)
                                       −∞


                                       364

Страницы