Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 380 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

H = L
2
(R
1
, dx) , Dom(A) = H
2
(R
1
) , A = −
d
2
dx
2
.
< f , Af >=
1
2π
Z
∞
−∞
ξ
2
|
b
f(ξ)|
2
dξ =
1
4π
Z
∞
0
λ
|
b
f(
√
λ)
2
+ |
b
f(−
√
λ)|
2
λ
−1/2
dλ.
U : L
2
(R
1
, dx) 7→ L
2
((0 , ∞) 7→ R
2
),
Uf(λ) =
b
f(−
√
λ)
√
4πλ
,
b
f(
√
λ)
√
4πλ
−
d
2
dx
2
L
2
(R
1
, dx)
U : L
2
(R
d
, dx) 7→ L
2
((0 , ∞) 7→ L
2
(S
ω
, dω)),
Uf(λ , ω) = (2π)
−d/2
2
−1/2
λ
(d/2−1)/2
b
f(ω
√
λ),
S
ω
R
d
dω
dω = sin θdθdφ −∆ L
2
(R
d
, dx)
    Ïî ýòîìó ïîâîäó ìîæíî çàìåòèòü ñëåäóþùåå.
    1. Äèàãîíàëèçèðóåùåå ïðåîáðàçîâàíèå ìîæíî è íå èñêàòü â ôîðìå
(4.247). Íà ïðèìåðå ìîäåëè Ôðèäåðèõñà ìû ïîêàçàëè, êàê ìîæíî íàéòè
äèàãîíàëèçèðóåùåå ïðåîáðàçîâàíèå, íå îáðàùàÿñü ê ôîðìóëå (4.247).
    2. Îáû÷íî áûâàåò íóæíà íå ôîðìóëà äëÿ äèàãîíàëèçèðóåùåãî ïðå-
îáðàçîâàíèÿ, à çíàíèå åãî ñâîéñòâ. Ýòè ñâîéñòâà ÷àñòî ïðîùå ïîëó÷èòü
äðóãèìè ìåòîäàìè, íå îñíîâàííûìè íà ôîðìóëàõ äëÿ äèàãîíàëèçèðóå-
ùåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.
    Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðèìåðû.
    Ïóñòü

                                                              d2
            H = L2 (R1 , dx) , Dom(A) = H 2 (R1 ) , A = −        .
                                                             dx2
(Ïðîèçâîäíàÿ çäåñü ïîíèìàåòñÿ â îáîáùåííîì ñìûñëå ñì. ñòð. 453.)
   Èìååì:
                Z ∞                   Z ∞  √              √
              1                     1                           
 < f , Af >=         2 b     2
                    ξ |f (ξ)| dξ =       λ |fb( λ)2 + |fb(− λ)|2 λ−1/2 dλ.
             2π −∞                 4π 0

Èç ïðèâåäåííîé âûêëàäêè ñëåäóåò, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå

                  U : L2 (R1 , dx) 7→ L2 ((0 , ∞) 7→ R2 ),
                            fb(−√λ) fb(√λ) 
                  U f (λ) = √          , √
                                 4πλ        4πλ
                             2
äèàãîíàëèçóåò îïåðàòîð − dx
                          d
                            2 â ïðîñòðàíñòâå L (R , dx).
                                              2  1

   Àíàëîãè÷íàÿ âûêëàäêà ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå

              U : L2 (Rd , dx) 7→ L2 ((0 , ∞) 7→ L2 (Sω , dω)),
                                                          √
              U f (λ , ω) = (2π)−d/2 2−1/2 λ(d/2−1)/2 fb(ω λ),

ãäå Sω -åäèíè÷íàÿ ñôåðà â Rd ñî ñòàíäàðòíîé ìåðîé dω (â òðåõìåðíîì
ñëó÷àå dω = sin θdθdφ), äèàãîíàëèçóåò îïåðàòîð −∆ â ïðîñòðàíñòâå L2 (Rd , dx).




                                    368

Страницы