Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 381 стр.

4.10     Êîìåíòàðèè è ëèòåðàòóðíûå óêàçàíèÿ.

Èçëîæåííûå â ýòîé ãëàâå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ
åñòü âî ìíîãèõ ó÷åáíèêàõ ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Ñ òî÷êè çðåíèÿ àâ-
òîðà, äëÿ ñïåöèàëèñòà ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè èíòåðåñåíû ó÷åáíèêè
[34, 31, 42]. Ïðè èçëîæåíèè ñïåêòðàëüíîé òåîðèè ìû èñïîëüçîâàëè òåîðå-
ìó Âåéðøòðàññà è ÿâíóþ êîíñòðóêöèþ ãîìîìîðôèçìà àëãåáðû ôóíêöèé
â àëãåáðó îïåðàòîðîâ. Ìîæíî ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü äîêàçàòåëüñòâà,
åñëè îïèðàòüñÿ íà íåêîòîðûå òåîðåìû è êîíñòóêöèè îáùåé àëãåáðû (ïî-
íÿòèÿ êîëüöà è èäåàëà). Ïðîñòîå èçëîæåíèå ñïåêòðàëüíîé òåîðèè, êî-
òîðîå èñïîëüçóåò àëãåáðàè÷åñêèå êîíñòðóöèè, åñòü â [41] , [44]. Èíòåðåñ-
íûé ïîäõîä ê ïîíÿòèþ ïîëîæèòåëüíûõ ýëåìåíòîâ ðàçâèò â ïàðàãðàôå
2.2.2 êíèãè [37]. Äëÿ ôèçèêà áóäåò èíòåðåñåíà òðàêòîâêà ñïåêòðàëüíîé
òåîðåìû ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèè îñíàùåííûõ (rigged) ãèëüáåðòîâûõ ïðî-
ñòðàíñòâ. Ñ ýòèì íàïðàâëåíèåì ìîæíî ïîçíàêîìèòüñÿ ïî ðàáîòàì [47]
, [48] , [49]. Â ïîñëåäíåå âðåìÿ ñòàë ïîïóëÿðåí ïîäõîä ê ïîñòðîåíèþ
ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè, êîòîðûé îïèðàåòñÿ íà àíàëèòè÷åñêèå ñâîéñòâà
ðåçîëüâåíòû îïåðàòîðà è ìåòîäû òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðå-
ìåííîãî. Äîñòóïíîå èçëîæåíèå ýòîãî ïîäõîäà åñòü â ëåêöèÿõ [43].øðîêî
èñïîë
    Ìîäåëü Ôðèäåðèõñà îáñóæäàåòñÿ â ðàáîòàõ [50, 51].
    Ìû îïèñàëè òîëüêî îäèí èç âîçìîæíûõ ïîäõîäîâ ê ïîñòðîåíèþ ðàñ-
øèðíèÿ îïåðàòîðîâ: ðàñøèðåíèå ïî Ôðèäðèõñó. Ýòî ðàñøèðåíèå ÷àñòî
èñïîëüçóåòñÿ â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå. Ðàñøèðåíèå ïî Ôðèäðèõñó ìîæ-
íî ïîñòðîèòü íà îñíîâå âàðèàöèîííîé ïðîöåäóðû, êîòîðàÿ îïèñàíà, íà-
ïðèìåð, â êíèãå [42].  òåîðèè ðàñøèðåíèÿ ñèììåòðè÷íûõ îïåðàòîðîâ
áîëüøóþ ðîëü èãðàþò èíäåêñû äåôåêòà ñèììåòðè÷íîãî îïåðàòîðà A:

                       n± = dim(Ker(iid ∓ A∗ )).

Òåîðèÿ ðàñøèðåíèé äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ ñ îáûêíîâåííûìè
ïðîèçâîäíûìè èçëîæåíà â êíèãå [45]. Ñ òåîðèåé ðàñøèðåíèÿ ýëëèïòè÷å-
ñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðâ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ìîæíî ïî-
çíàêîìèòüñÿ ïî öèòèðîâàííîé â [46] ëèòåðàòóðå. Èçëîæåíèå îáùåé òåî-
ðèè ðàñøèðåíèé òåîðèè åñòü â êíèãàõ [31, 42].
   Êíèãà [38] äîíåñåò äî ÷èòàòåëÿ ñâåæåñòü ïåðâîèñòî÷íèêà. Äëÿ ïîäãî-
òîâëåííîãî ÷èòàòåëÿ áóäåò èíòåðåñíà êíèãà [35]. Ñòàíäàðòûì èñòî÷íè-
êîì ññûëîê íà ìàòåìàòè÷åñêèå ïðîáëåìû êâàíòîâîé ôèçèêè ÿâëÿþòñÿ
êíèãè [23]-[26].




                                  369