Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 383 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

H A
H E(λ , A) A
E(λ , A) {λ <
inf σ(A)} {λ >
sup σ(A)}
−∞
∞
[a , b] ⊂ R
1
Bor([a , b])
[a , b] m ∈ Bor([a , b])
∀(φ ∈ H) : Bor([a , b]) 3 m 7→< φ , P (m)φ >=
Z
I(m | λ)d
λ
< φ , E(λ , A)φ > .
φ ∈ H
[a , b]
µ(φ | ·) : Bor(a , b]) 7→ µ(φ | m) =< φ , P(m)φ > .
A
µ(φ | m) =
X
λ
j
∈m
|φ
j
|
2
,
Ãëàâà 5


Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé

òåîðèè ðàññåÿíèÿ.



5.1     Àáñîëþòíî íåïðåðûâíûé è ñèíãóëÿðíûé

        ñïåêòð îïåðàòîðà.

Ïóñòü H -ñåïàðàáåëüíîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, A -ñàìîñîïðÿæåííûé
îïåðàòîð â H , E(λ , A) -ñïåêòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ îïåðàòîðà A. Ìû áóäåì
ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèÿ E(λ , A) äîîïðåäåëåíà íóëåì íà ìíîæåñòâî {λ <
inf σ(A)} è äîîïðåäåëåíà êàê åäèíè÷íûé îïåðàòîð íà ìíîæåñòâî {λ >
sup σ(A)} (åñëè ýòè ìíîæåñòâà íå ïóñòû). äàëüíåéøåì ïî óìîë÷àíèþ
âñå èíòåãàëû áåç óêàçàíèÿ ïðåäåëîâ èíòåãðèðîâàíèÿ áåðóòñÿ îò −∞ äî
∞.
    Ïóñòü [a , b] ⊂ R1 -ïðîèçâîëüíûé îòðåçîê, Bor([a , b]) àëãåáðà âñå áîðå-
ëåâñêèõ ïîäìíîæåñòâ îòðåçêà [a , b]. Êàæäîìó ìíîæåñòâó m ∈ Bor([a , b])
ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå çàäàâàåìûé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé ïðîåêòîð:

              ∀(φ ∈ H) : Bor([a , b]) 3 m 7→< φ , P (m)φ >=
              Z
                 I(m | λ)dλ < φ , E(λ , A)φ > .                        (5.1)

     Êàæäîìó ýëåìåíòó φ ∈ H ñîîòâåòñòâóåò áîðåëåâñêàÿ ìåðà íà îòðåçêå
[a , b]:
           µ(φ | · ) : Bor(a , b]) 7→ µ(φ | m) =< φ , P (m)φ > . (5.2)
Åñëè A -êîìïàêòíûé îïåðàòîð, òî
                                        X
                           µ(φ | m) =           |φj |2 ,
                                        λj ∈m


                                    371

Страницы