Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 384 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

λ
j
A φ
j
A
A = −∆
µ(φ | m) = (2π)
−d
Z
ξ
2
∈m
|F φ(ξ)|
2
dξ.
H
H = H
ac
⊕ H
s
.
φ ∈ H
ac
µ(φ | ·)
[a , b] R
1
φ ∈ H
s
µ(φ | ·)
[a , b] R
1
A f
R
1
f(A)H
ac
⊂ H
ac
, f(A)H
s
⊂ H
s
.
|m|
m ∈ Bor([a , b]) µ(φ | ·)
(|m| = 0) ⇒ (µ(φ | m) = 0).
H
ac
⊂ H : φ ∈ H
ac
∀[a , b] ⊂ R
1
[a , b] µ(φ | ·)
H
ac
φ ∈ H , ψ ∈ H
< (φ + ψ), P (m)(φ + ψ) >=< φ , P (m)φ > + < ψ , P (m)ψ >
+ 2Re < ψ , P (m)φ >= 0,
< φ , P (m)φ >= 0 , < ψ , P (m)ψ >= 0.
P (m) H
ac
H = H
ac
⊕ H
⊥
ac
.
H
s
= H
⊥
ac
.
ãäå λj -ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà A, φj -êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ïî
ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì îïåðàòîðà A.
   Åñëè A = −∆, òî
                                     Z
                                  −d
                   µ(φ | m) = (2π)      |F φ(ξ)|2 dξ.
                                    ξ 2 ∈m

Òåîðåìà 5.1.1. Ïðîñòðàíñòâî H åñòü ïðÿìàÿ ñóììà äâóõ ïðîñòðàíñòâ:
                            H = Hac ⊕ Hs .                         (5.3)

Åñëè φ ∈ Hac , òî îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì (5.2) ìåðà µ(φ | ·) íà ëþáîì
îòðåçêå [a , b] àáñîëþòíî íåïðåðûâíà îòíîñèòåëüíî ìåðû Ëåáåãà íà R1 .
Åñëè φ ∈ Hs , òî îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì (5.2) ìåðà µ(φ | ·) íà ëþáîì
îòðåçêå [a , b] ñèíãóëÿðíà îòíîñèòåëüíî ìåðû Ëåáåãà íà R1 . Ðàçëîæå-
íèå (5.3) ïðèâîäèò îïåðàòîð A: åñëè f -ëþáàÿ îãðàíè÷åííàÿ áîðåëåâñêàÿ
ôóíêöèÿ íà R1 , òî

                    f (A)Hac ⊂ Hac , f (A)Hs ⊂ Hs .                (5.4)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ñèìâîëîì |m| ìåðó Ëåáåãà ìíîæåñòâà
m ∈ Bor([a , b]). Íàïîìíèì, ÷òî ìåðà µ(φ | ·) àáñîëþòíî íåïðåðûâíà
îòíîñèòåëüíî ìåðû Ëåáåãà, åñëè

                      (|m| = 0) ⇒ (µ(φ | m) = 0).

Îïðåäåëèì ìíîæåñòâî Hac ⊂ H : φ ∈ Hac , åñëè ∀[a , b] ⊂ R1 íà îòðåçêå
[a , b] ìåðà µ(φ | · ) àáñîëþòíî íåïðåðûâíà îòíîñèòåëüíî ìåðû Ëåáåãà.
Ìíîæåñòâî Hac åñòü ëèíéíîå ïðîñòðàíñòâî, òàê êàê åñëè φ ∈ H , ψ ∈ H ,
òî

       < (φ + ψ), P (m)(φ + ψ) >=< φ , P (m)φ > + < ψ , P (m)ψ >
       + 2Re < ψ , P (m)φ >= 0,

ïðè

       < φ , P (m)φ >= 0 , < ψ , P (m)ψ >= 0.

 ñèëó íåïðåðûâíîñòè ïðîåêòîðà P (m) ìíîæåñòâî Hac çàìêíóòî. Ïî òåî-
ðåìå Ëåâè î ïðîåêöèè
                                       ⊥
                          H = Hac ⊕ Hac  .
Íèæå ìû äîêàæåì, ÷òî
                                    ⊥
                              Hs = Hac .                           (5.5)

                                  372

Страницы