Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 385 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

H
ac
H
s
H = ⊕
X
n
(E(n , A) − E(n − 1 , A))H,
ψ , φ ∈ (E(n , A) − E(n − 1 , A))H.
µ(φ | ·) [a , b] ⊂ R
1
∀(m ∈ B([a , b])) : µ(φ | m) = µ
ac
(φ | m) + µ
s
(φ | m),
µ
ac
(φ | ·)
∀(m ∈ B([a , b])) : ((|m| = 0)) ⇒ (µ
ac
(φ | m) = 0),
µ
s
(φ | ·)
∃(|m
0
| = 0) , ∀(m ∈ B([a , b])) : µ
s
(φ | m) = µ
s
(φ | m
\
m
0
).
m
0
φ
m
0
= m
0
(φ).
m
0
φ
ac
=
Z
I(C(m
0
) | λ)d
λ
E(λ , A)φ,
φ
s
=
Z
I(m
0
| λ)d
λ
E(λ , A)φ.
I(C(m
0
) | λ) + I(m
0
| λ) ≡ 1,
∀(φ ∈ H) : φ = φ
ac
+ φ
s
.
µ(φ
ac
| ·)
µ(φ
s
| ·)
     Ïîëó÷èì äðóãîå îïèñàíèå ïðîñòðàíñòâ Hac è Hs . Òàê êàê
                        X
                 H=⊕       (E(n , A) − E(n − 1 , A))H,
                             n

òî äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà

                      ψ , φ ∈ (E(n , A) − E(n − 1 , A))H.

Ðàññìîòðèì ñóæåíèå ìåðû µ(φ | ·) íà îòðåçîê [a , b] ⊂ R1 . Ïî òåîðåìå
Ëåáåãà î ðàçëîæåíèè ìåðû ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

            ∀(m ∈ B([a , b])) : µ(φ | m) = µac (φ | m) + µs (φ | m),           (5.6)

ãäå ìåðà µac (φ | ·) àáñîëþòíî íåïðåðûâíà îòíîñèòåëüíî ìåðû Ëåáåãà:

              ∀(m ∈ B([a , b])) : ((|m| = 0)) ⇒ (µac (φ | m) = 0),             (5.7)

à ìåðà µs (φ | ·) ñèíãóëÿðíà îòíîñèòåëüíî ìåðû Ëåáåãà:
                                                                  \
      ∃(|m0 | = 0) , ∀(m ∈ B([a , b])) : µs (φ | m) = µs (φ | m       m0 ).    (5.8)

Çàìåòèì, ÷òî âõîäÿùåå â (5.8) ìíîæåñòâî m0 çàâèñèò îò φ,è êîãäà ýòî
ñóùåñòâåííî, ìû áóäåì ïèñàòü

                                  m0 = m0 (φ).

     Ïóñòü ìíîæåñòâî m0 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (5.8). Ïîëîæèì
                         Z
                   φac = I(C(m0 ) | λ)dλ E(λ , A)φ,                            (5.9)
                        Z
                   φs = I(m0 | λ)dλ E(λ , A)φ.                                (5.10)

Òàê êàê

                         I(C(m0 ) | λ) + I(m0 | λ) ≡ 1,

òî

                         ∀(φ ∈ H) : φ = φac + φs .                            (5.11)

Äîêàæåì, ÷òî ìåðà µ(φac | ·) àáñîëþòíî íåïðåðûâíà îòíîñèòåëüíî ìåðû
Ëåáåãà, à ìåðà µ(φs | ·) ñèíãóëÿðíà îòíîñèòåëüíî ìåðû Ëåáåãà.

                                       373

Страницы