Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 387 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f(A)H
s
⊂ H
s
.
A H
ac
A
A H
s
A
φ ∈ H
ac
ψ ∈ H
ac
λ 7→< φ , E(λ , A)ψ >
[a , b] ⊂ R
1
∃(ω(λ , φ , ψ) ∈ L
1
(R
1
)) : < φ , E(λ , A)ψ >=
Z
λ
−∞
ω(ξ , φ , ψ)dξ.
ω(λ , φ , ψ)
1. ∀(φ ∈ H
ac
) : ω(λ , φ , φ) ≥ 0,
2. |ω(λ , φ , ψ)|
2
≤ ω(λ , φ , φ)ω(λ , ψ , ψ),
3. ∀(f ∈ L
∞
(R
1
)) : < φ , f (A)ψ >=
Z
f(λ)ω(λ , φ , ψ)dλ.
4.
M(A) = {φ | φ ∈ H
ac
, sup{ω(λ , φ , φ) | λ ∈ R
1
} < ∞}
H
ac
φ → kφ | M(A)k = sup{ω(λ , φ , φ) | λ ∈ R
1
}
1/2
φ ∈ H
ac
ψ ∈ H
ac
< φ , E(λ , A)ψ >=< φ
ac
, E(λ , A)ψ
ac
> .
φ ∈ H
ac
[a , b] ⊂ R
1
λ 7→< φ , E(λ , A)φ >
ïîýòîìó

                    f (A)Hs ⊂ Hs .

Òåîðåìà äîêàçàíà.

Îïðåäåëåíèå 5.1.1. Ñïåêòð ñóæåíèÿ îïåðàòîðà A íà ïðîñòðàíñòâî H                   ac
íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûì ñïåêòðîì îïåðàòîðà A. Ñïåêòð ñóæå-
íèÿ îïåðàòîðà A íà ïðîñòðàíñòâî Hs íàçûâàåòñÿ ñèíãóëÿðíûì ñïåêòðîì
îïåðàòîðà A.

Òåîðåìà 5.1.2. Åñëè ëèáî φ ∈ H       ac , ëèáî   ψ ∈ Hac ,    òî ôóíêöèÿ

                             λ 7→< φ , E(λ , A)ψ >

àáñîëþòíî íåïðåðûâíà íà ëþáîì îòðåçêå            [a , b] ⊂ R1   è
                                                      Z   λ
                    1   1
 ∃(ω(λ , φ , ψ) ∈ L (R )) : < φ , E(λ , A)ψ >=                ω(ξ , φ , ψ)dξ. (5.12)
                                                        −∞

Îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì       (5.12) ôóíêöèÿ ω(λ , φ , ψ) óäîâëåòâîðÿåò ñëå-
äóþùèì óñëîâèÿì:

      1. ∀(φ ∈ Hac ) : ï.â. ω(λ , φ , φ) ≥ 0,                                 (5.13)
      2. |ω(λ , φ , ψ)|2 ≤ ω(λ , φ , φ)ω(λ , ψ , ψ),                          (5.14)
                                               Z
                  ∞    1
      3. ∀(f ∈ L (R )) : < φ , f (A)ψ >= f (λ)ω(λ , φ , ψ)dλ.                 (5.15)

    4.Ìíîæåñòâî
      M(A) = {φ | φ ∈ Hac , sup{ω(λ , φ , φ) | λ ∈ R1 } < ∞}                  (5.16)

ïëîòíî â   Hac   è ôóíêöèÿ


      φ → kφ | M(A)k = sup{ω(λ , φ , φ) | λ ∈ R1 }1/2                         (5.17)

îïðåäåëÿåò íà ýòîì ìíîæåñòâå íîðìó.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Âî-ïåðâûõ, çàìåòèì, ÷òî åñëè ëèáî φ ∈ Hac , ëèáî
ψ ∈ Hac , òî
              < φ , E(λ , A)ψ >=< φac , E(λ , A)ψac > .
Äàëåå çàìåòèì, ÷òî åñëè φ ∈ Hac , òî íà ëþáîì îòðåçêå [a , b] ⊂ R1 ôóíê-
öèÿ
                        λ 7→< φ , E(λ , A)φ >

                                      375

Страницы