Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 389 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

r
b
(φ , n)
r
b
(φ , n) ⊂ r(φ , n) , |r(φ , n) \ r
b
(φ , n)(φ , n)| < 2
−n
.
P (φ , n) := Opb
A
(I(r
b
(φ , n) | ·)).
∀(φ ∈ H
ac
) , ω(λ , P (φ , n)φ , P (φ , n)φ) =
I(r
b
(φ , n) | λ)ω(λ , φ , φ) < n
2
,
kφ − P (φ , n)φk
2
=
Z
(1 − I(r
b
(φ , n) | λ)ω(λ , φ , φ)dλ → 0 , n → ∞.
M
b
(A) :=
[
1≤n<∞
{φ | φ = P(ψ , n)ψ}
M
b
(A) ⊂ M(A)
\
Dom(A) , Cl(M
b
(A)) = H
ac
(A).
λ 7→ E(λ , A)
P
ac
(A)
A
P
ac
(A)H = H
ac
.
B H
∀(φ ∈ H) : W
+
(B , A)φ = lim
t→+∞
exp(itB) exp(−itA)P
ac
(A)φ,
∀(φ ∈ H) : W
−
(B , A)φ = lim
t→−∞
exp(itB) exp(−itA)P
ac
(A)φ,
Ïóñòü rb (φ , n) -áîðåëåâñêîå ìíîæåñòâî, êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:

           rb (φ , n) ⊂ r(φ , n) , |r(φ , n) \ rb (φ , n)(φ , n)| < 2−n .
Ïóñòü
                      P (φ , n) := OpbA (I(rb (φ , n) | ·)).
Î÷åâèäíî, ÷òî

   ∀(φ ∈ Hac ) , ω(λ , P (φ , n)φ , P (φ , n)φ) =
   I(rb (φ , n) | λ)ω(λ , φ , φ) < n2 ,
                          Z
                     2
   kφ − P (φ , n)φk = (1 − I(rb (φ , n) | λ)ω(λ , φ , φ)dλ → 0 , n → ∞.

Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Çàìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâî
                                   [
                    Mb (A) :=            {φ | φ = P (ψ , n)ψ}               (5.19)
                                 1≤n<∞

óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:
                              \
            Mb (A) ⊂ M(A)         Dom(A) , Cl(Mb (A)) = Hac (A).

   Èç ðàâåíñòâà (5.18) ñëåäóåò, ÷òî åñëè ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè

                                  λ 7→ E(λ , A)
ñóùåñòâóåò, òî îíà ðàâíà íóëþ.


5.2      Âîëíîâûå îïåðàòîðû è îïåðàòîð ðàññåÿ-

         íèÿ.

Ïóñòü Pac (A) ïðîåêòîð íà àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ïîäïðîñòðàíñòâî îïå-
ðàòîðà A:
                            Pac (A)H = Hac .
Ïóñòü B -ñàìîñîðÿæåííûé îïåðàòîð â H .
Îïðåäåëåíèå 5.2.1. Åñëè ñóùåñòâóþò ïðåäåëû
      ∀(φ ∈ H) : W+ (B , A)φ = lim exp(itB) exp(−itA)Pac (A)φ,              (5.20)
                                  t→+∞

      ∀(φ ∈ H) : W− (B , A)φ = lim exp(itB) exp(−itA)Pac (A)φ,              (5.21)
                                  t→−∞

òî ýòè ïðåäåëû íàçûâàþòñÿ âîëíîâûìè îïåðàòîðàìè.

                                        377

Страницы